知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

难度：较难

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2．已知椭圆x²+4y²=16，点M（2，1）．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若直线l过点M与椭圆交于A，B两点，且点M是线段AB的中点，求直线l的方程．

难度：中等

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3．已知定点A（4，0），P是椭圆4x²+9y²=36上的动点，则线段AP的中点的轨迹方程是．

难度：较易

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4．复数z=3cosθ+isinθ（θ∈R）对应点的轨迹是．

难度：较易

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5．在平面直角坐标系中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（
2
，0），离心率为
6
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明：存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值．

难度：中等

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6．已知A，B，D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），|AD|=2，点E是BD的中点．
（1）求E点轨迹方程；
（2）已知椭圆C中心在原点，以A，B为焦点，过A作直线交C于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
4
5
，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆C方程．

难度：中等

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7．已知：在平面Rt△ABC，∠C=90°，动点P满足|PC|+|CB|=|PA|+|AB|，则点P的轨迹是（　　）

A．椭圆

B．双曲线

C．双曲线的一支

D．抛物线

难度：较易

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8．已知点M（x，y）到定点（-2，0）与定直线x=-4的距离之比为
2
2
．
（1）求点M的轨迹方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）若直线l过（2，0）且与点M的轨迹交于点A、B，以AB为直径的圆恒过原点，求直线l的方程．

难度：中等

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9．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，求曲线E的方程．

难度：中等

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10．已知△ABC中，A（-2，0），B（2，0），AC，AB，BC成等差数列．
（1）求顶点C的轨迹方程；
（2）若AC，BC边上的中线BF与AE的和为9，求△ABC重心G的轨迹方程．

难度：中等

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