知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•临沂二模）在如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，平面ADF⊥平面ABEF，且AB∥EF，AB=
1
2
EF=2
2
，AF=BE=2，M是EF的中点，N在AM上．
（I）求证：DN∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面ABEF⊥平面ABCD．

难度：中等

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2．（2016•淄博二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．
（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱锥E-AFB的体积．

难度：中等

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3．（2016春•湖北期中）如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是
3
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）在线段AA₁上是否存在一点E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．（2016•泰安二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为CC₁，A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，△AA₁B是边长为2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
（1）证明：MD∥平面ABC；
（2）证明：BC⊥平面ABB₁A₁．

难度：中等

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5．（2015秋•北京校级期中）如图所示，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，且F为的BE中点
（1）画出平面BDE与平面ABC的交线（写出画法）
（2）求证：DF∥平面ABC
（3）求证：AF⊥BD．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AD，△BCD是边长为
3
的正三角形，AC与BD交于点O，点M是PB的中点．
（1）求证：OM∥平面PAD；
（2）求三棱锥M-PCD的体积．

难度：中等

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7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求证：平面A₁BC⊥平面CDB₁．

难度：中等

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8．如图所示的几何体P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AD∥BC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PB⊥AC．
（1）证明：PA=PC；
（2）证明：CF∥平面PBE．

难度：中等

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9．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD，E、F分别是侧棱SA、SC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）EF⊥平面SBD．

难度：中等

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10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，其他四个侧面都是边长等于
5
的等腰三角形，点E是PC中点．
（1）求证：PA∥平面EBD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若该四棱锥P-ABCD是一个铜制的几何体，将它熔铸成一个实心球体，假设熔铸过程没有材料损失，求这个球体的表面积．

难度：中等

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