知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线与射线y=
3
x（x≥0）交于点Q，其中α∈（-
π
2
，
π
2
）．
（Ⅰ）若sinα=
1
3
，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

难度：中等

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2．在如图所示的直角坐标系xOy中，点A、B是单位圆上的点，且A（1，0），∠AOB=
π
3
，现有一动点C在单位圆的劣弧
AB
上运动，设∠AOC=α．
（1）求点B的坐标；
（2）若tanα=
1
3
，求
OA
•
OC
的值；
（3）若
OC
=x
OA
+y
OB
，其中x、y∈R，求x+y的最大值．

难度：较难

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3．如图所示，在xOy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若点B（-
3
5
，
4
5
），求tan（2θ+
π
4
）的值；
（2）若
OA
+
OB
=
OC
，四边形OACB的面积用S_四表示，求S_四+
OA
•
OC
的取值范围．

难度：中等

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4．已知A（x_A，y_A）是单位圆（圆心为坐标极点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转
π
3
到OB交单位圆于点B（x_B，y_B），已知m＞0，若my_A-2y_B的最大值为3，则m= ．

难度：中等

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5．根据条件利用单位圆写出θ的取值范围：
（1）cosθ＜
2
2
；
（2）
1
2
≤sinθ＜
3
2
．

难度：中等

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6．已知A，B是单位圆O上的动点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形，记∠AOC=α
（1）若A点的横坐标为
3
5
，求tan（540°-α）的值；
（2）若tan（α+60°）=-
3
4
，求B、C两点之间的距离．

难度：中等

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7．用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sinα|+|cosα|≥1．

难度：较易

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8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在单位圆上，∠xOA=α，∠AOB=
π
3
，且α∈（
π
6
，
π
3
）．
（1）若x₁=
2
7
7
，求x₂的值；
（2）过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，设S₁-S₂=f（α），求函数f（α）的值域．

难度：中等

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9．画图：①利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角
1°sinα≥
1
2
2°tanα＞
3
3

②求证：若0≤α₁＜α2≤
π
2
时，则sinα₁＜sinα₂．

难度：较易

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