知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2017•湖北模拟）如图，在圆x²+y²=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足
DM
=
2
3
DP
；当点P在圆x²+y²=9上运动时，点M的轨迹为E．
（1）求点M的轨迹的方程E；
（2）与已知圆x²+y²=1相切的直线l：y=km+m交E于A，B两点，求
OA
•
OB
的取值范围．

难度：中等

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，焦点到相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y=
2
于点Q，求
1
OP2
+
1
OQ2
的值．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF₁的周长为8，且△AF₁F₂的面积的最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：
|MN|2
|AB|
为定值．

难度：中等

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4．（1）求与双曲线
x2
9
-
y2
4
=1共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；
（2）过椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)右焦点的直线x+y-
3
=0交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为
1
2
，求椭圆M的方程．

难度：中等

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5．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，左顶点到直线x+2y-2=0的距离为
4
5
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．

难度：中等

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6．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=
5
5
，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

难度：较易

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7．如图，已知F（1，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，离心率
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）P为椭圆上一点，椭圆在P点处的切线与直线x=c和右准线x=
a2
c
分别交于点M，N．
①若P（0，1），求
MF
NF
的值；
②探究当P在椭圆上移动时，
MF
NF
的值是否为定值？若是，求出此定值，否则，说明理由．

难度：中等

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8．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6；
（2）焦点在x轴上过点（0，2），长轴长为6．

难度：较易

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+
6
相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆C的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l₁，l₂与椭圆的另一个交点分别为P，Q，设直线PQ与y轴相交于点M，若
PM
=λ
MQ
，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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10．已知F₁、F₂是椭圆E：
y2
b2
+
x2
a2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆E的离心率为
1
2
．过原点O的直线交椭圆于C、D两点，若四边形C F₁DF₂的面积最大值为2
3
．
（1）求椭圆E的方程
（2）若直线1与椭圆E交于A、B且OA⊥OB，求证：原点O到直线1的距离为定值．

难度：中等

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