知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=（x-2）lnx+1．
（1）判断f（x）的导函数f′（x）在（1，2）上零点的个数；
（2）求证f（x）＞0．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=
x
a
-e^x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最大值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ax²+blnx+c（a，b，c∈R）的图象在点（e，1）处的切线过原点．
（1）若a=1，证明f（x）-lnx＞0；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）≤kx+m≤xf（x），求k，m的值．

难度：中等

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4．函数f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]）称为逻辑斯蒂克函数，此函数也是动物繁衍的数学模型，今有λ=4．
（1）求函数F（x）=[f（x）]²在[
1
4
，
3
4
]上的最值；
（2）在函数g（x）=
f(tanx)
tanx
图象的所有切线中，是否存在切线l与直线m：（a+b）x-8
ab
y+12=0（ab＞0）垂直？请说明你的理由．

难度：中等

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5．设函数f（x）=ln（x-1）+
2a
x
（a∈R）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1，且x≠2时，xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=x+
a
x
+lnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的函数g（x）=
lnx
x2
-f（x）+lnx+2e（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，求实数a的值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若k∈Z，且存在x＞0，使得k＞
f(x+1)
x
成立，求k的最小值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y-1=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）=f（x）+2x²-x-2，且当x∈（
1
e2
，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m-3e恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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9．设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x-a，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[-1，3]上的最值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1））处的切线与直线y=x垂直．
（1）求函数g（x）=f（x）+2lnx在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：f（x）＞-1．

难度：中等

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