知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（矩阵与变换）
已知矩阵M=
1 0
0 2
，N=
1
2
0
0 1
，矩阵MN对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C，求C的方程．

难度：较难

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2．计算：
1 3
2 4
-1 1
0 4
= ．

难度：中等

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3．已知曲线C：x²+y²=1，对它先作矩阵A=
1 0
0 2
对应的变换，再作矩阵B=
0 b
1 0
对应的变换，得到曲线C：
x2
4
+y²=1．则实数b= ．

难度：较难

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4．已知矩阵M=[
1 2
3 4
]N=[
0 -1
1 3
]．
（1）求矩阵MN；
（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q（0，1），求点P的坐标．

难度：较难

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5．本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知e1=
1
1
是矩阵M=
a
1
0
b
属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
（I）求矩阵M；
（Ⅱ）若a=
2
1
，求M¹⁰a．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为
AB
为参数）．
（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0为极点，|
AB
|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y
)
2

+
1
(x-y
)
2

的最小值．

难度：较难

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6．设数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=2a_n+3b_n，b_n+1=2b_n，且满足
an+4
bn+4
=M
an
bn
，试求二阶矩阵M．

难度：中等

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7．矩阵A=
1 0
-1 2
，B=
2 4
1 -3
，则2A-3B= ．

难度：较易

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8．（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=（
2 a
2 b
）的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为
x=sinα
y=2cos2α-2
，（α为参数），曲线D的坐标方程为ρsin（θ-
π
4
）=-
3
2
2
．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）判断曲线c与曲线D的交点个数，并说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b为正实数．
（Ⅰ）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．

难度：较难

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9．把实数a，b，c，d排成如
a b
c d
的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算
a b
c d
•
x
y
=
ax+by
cx+dy
，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵
a b
c d
的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵
0 1
1 0
的作用下变换成点．

难度：较难

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10．已知矩阵A=[f（x）]，B=[x 1-x]，C=
x
2a
，若A=BC，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

难度：较难

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