知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
1 2
-1 4
，向量
a
=
7
4
．
（1）求A的特征值和对应的特征向量；
（2）计算A⁵α的值．

难度：较难

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2．已知矩阵M=
a 1
b 1
的一个特征值l所对应的特征向量为
1
0
．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
a b
2 1
，若矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α₁=
1
-1
，属于特征值4的一个特征向量为α₂=
3
2
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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4．已知矩阵A=
3 3
2 4
．
（1）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值和特征向量；
（3）求圆x²+y²=1在经过矩阵A对应的变换后得到的曲线的方程．

难度：中等

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5．已知x，y∈R，向量
α
=
1
-1
是矩阵
x 1
y 0
的属于特征值-2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．

难度：较难

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6．若矩阵M=
a 2
c 1
属于特征值3的一个特征向量为
α
=
1
1
，求矩阵M的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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7．已知矩阵A=
a 2
-1 4
．A的一个特征值λ=2．
（1）求矩阵A；
（2）在平面直角坐标系中，点P（1，1）依次在矩阵A所对应的变换σ和关于x轴对称的反射变换γ的作用下得到点P′，写出复合变换γ•σ的变换公式，并求出点P′的坐标．

难度：较难

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8．已知矩阵A=
1 2
-1 4
．
（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的一个特征向量
α1
、
α2
．

难度：较难

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9．设
2
3
是矩阵M=
a 2
3 2
的一个特征向量，求实数a的值．

难度：较难

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10．已知矩阵M=
a 1
1 b
的一个属于特质值3的特征向量
α
=
1
1
，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵N及矩阵（MN）^-1．

难度：较难

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