知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f（x）=
x
lnx
-ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）已知f′（x）表示f（x）的导数，若∃x₁，x₂∈[e，e²]（e为自然对数的底数），使f（x₁）-f′（x₂）≤a成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）=a（x-1）+2，g（x）=6ln（x+b），（a＞0，b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）求a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

难度：中等

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4．设a∈R，函数f（x）=
x-a
(x+a)2
．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值；
（2）若对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f(x)=
lnx
x
．
（Ⅰ）记函数F(x)=x2-x•f(x)(x∈[
1
2
，2])，求函数F（x）的最大值；
（Ⅱ）记函数H(x)=
x
2e
，x≥s
f(x)，0＜x＜s
若对任意实数k，总存在实数x₀，使得H（x₀）=k成立，求实数s的取值集合．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≥x-1；
（Ⅲ）若f(x)≥ax2+
2
a
(a≠0)在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．

难度：较难

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7．（2015秋•启东市期末）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．
（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；
（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？

难度：中等

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8．已知函数f（x）=2x³-3x²+1，对于区间[
1
2
，2]上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是．

难度：中等

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9．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为（　　）

A．120 000 cm³

B．128 000 cm³

C．150 000 cm³

D．158 000 cm³

难度：中等

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10．已知函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时存在极值．
（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，
f(x)-1
x-1
＜
1
2
lnx．

难度：中等

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