知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

（2016•淮南二模）如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，

，E_n（n∈N₊）为边AC上的一列点，满足

EnA

an+1

EnB

-(3an+2)

EnD

，其中实数列{a_n}中
a_n＞0，a₁=1，则{a_n}的通项公式为（　　）

A．2•3^n-1-1

B．2ⁿ-1

C．3ⁿ-2

D．3•2^n-1-2

难度：较难

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2．已知A（1，0），B(1，

)将线段OA，AB各n等分，设OA上从左至右的第k个分点为A_k，AB上从下至上的第k个分点B_k（1＜k＜n），过点A_k且垂直于x轴的直线为l_K，OB_K交l_K于P_K，则点P_K在同一（　　）

A．圆上

B．椭圆上

C．双曲线上

D．抛物线上

难度：较难

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3．已知在数列{a_n}中，a_n=

n(n+1)

，其前n项和为

，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是（　　）

A．-10

B．-9

C．10

D．9

难度：较易

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4．在xOy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）对每个正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的圆P_n与H轴都相切，且圆P_n与圆P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{
1
xn
}是等差数列
（2）设圆P_n的面积为S_n，T_n=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求证：T_n＜
3
π
2
．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
．
（1）若函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，求实数k的取值范围；
（2）记P_n（n，lnn）（n∈N₊），线段P_nP_n+1的斜率为k_n，S_n=
1
k1
+
1
k2
+…+
1
kn
，求证：S_n＜
n(n+2)
2
．

难度：较难

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6．已知数列，A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2，n∈N^*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a_k-a_k-1|=2或3，则称A_n为H数列．
（Ⅰ）写出满足a₅=5的所有H数列A₅；
（Ⅱ）写出一个满足a_5k（k=1，2，…，403）的H数列A₂₀₁₅的通项公式；
（Ⅲ）在H数列A₂₀₁₅中，记b_k=a_5k（k=1，2，…，403）．若数列{b_k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或-5．

难度：较难

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7．在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，点P_n位于函数y=3x+
13
4
的图象上，且P_n的横坐标构成以-
5
2
为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线C_n的顶点为P_n且过点D_n（0，n²+1），记过点D_n且与抛物线C_n相切的直线
的斜率为k_n，求证：
1
k 1k2
+
1
k2k3
+…+
1
kn-1 kn
＜
1
10
．

难度：较难

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8．已知点列P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{C_n}满足C_n=
1
n•|P1Pn|
（n≥2），求
lim
n→∞
（C₂+C₃+…+C_n）．
（3）若d_n=2d_n-1+a_n+1（n≥2）且d₁=1，求{d_n}的通项公式．

难度：中等

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9．如图，已知点F（0，p），直线l：y=-p（其中p为常数，且p＞0），M为平面内的动点，过M作l的垂线，垂足为N，且
NM
•
NF
=
FM
•
FN
．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设Q是l上的任意一点，过Q作轨迹C的切线，切点为A、B．
①求证：A、Q、B三点的横坐标成等差数列；
②若Q（-4，-p），AB=20，求P的值．

难度：中等

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10．设圆C的方程为x²+y²-2x（
1-cosθ
1+cosθ
）-2ytan
θ
2
+（
1-cosθ
1+cosθ
）²=0，式中θ是实数，且0＜θ＜π．设θ₁、θ₂、θ₃都是区间（0，π）内的实数，且θ₁、θ₂、θ₃为公差不为0的等差数列，当θ依次取值θ₁、θ₂、θ₃时，所对应的圆C的半径依次为r₁、r₂、r₃，试问：r₁、r₂、r₃能否成等比数列？为什么？

难度：中等

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