知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•雅安模拟）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧
BD
于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面体FCOG的体积．

难度：较难

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2．（2016•山西校级二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求证：PB∥平面AEC．

难度：中等

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3．（2016•张掖模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁，E、F分别是棱BC、CC₁的中点．
（Ⅰ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC₁，试确定点D的位置，并说明理由；
（Ⅱ）证明：EF⊥A₁C．

难度：中等

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4．（2016•海口校级模拟）如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A₁ACC₁，AB=3
3
，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A₁E=4．
（1）求证：平面A₁DC₁∥平面AB₁C；
（2）求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

难度：中等

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5．（2016•成都模拟）如图，在三棱台DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=
1
2
AB=1，求棱锥F-ABHG的体积．

难度：中等

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6．（2016•威海二模）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

难度：中等

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7．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上，CE=2EC₁，AB=6，M，N分别为棱AB和AD的中点．
（1）求三棱锥M-BDE的体积；
（2）求证：平面C₁MN∥平面BDE．

难度：中等

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8．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除了A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=BE，AB=4，tan∠EAB=
1
4

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD
（2）当AC=BC时，求二面角D-AE-B的余弦值．

难度：中等

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9．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C₁，A₁B，BC₁，AD₁，AC，CD₁．
（1）求证：A₁C₁∥平面ACD₁；
（2）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求四面体ACB₁D₁的体积．

难度：较易

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PB，AB，PC的中点，若四边形ABCD是平行四边形．求证：平面EFG∥平面PAD．

难度：中等

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