知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若
DC
=λ
AB
，且向量
PC
与
BD
夹角的余弦值为
15
15
．
（1）求实数λ的值；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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3．（2016•梅州二模）如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A₁B=
6
．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁C．
（2）求直线BC₁到平面ABB₁A₁所成角的正弦值．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥A-BDEC中，AD⊥平面BDEC，底面BDEC为直角梯形，∠BDE=90°，BC∥DE，AD=DB=
2
2
，BC=2DE=1，
（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求点E到平面ABC的距离．

难度：中等

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5．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．

难度：中等

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6．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2
2
，CD=2，AA₁=2，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是A₁D上一点，且A₁E=2ED．
（1）求证：EO∥平面A₁ABB₁；
（2）求直线A₁B与平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

难度：中等

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8．如图，△BCD与△MCD都是正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABM；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求三棱锥A-BCD与三棱锥M-ACD的体积比；
（Ⅲ）若AB=2
3
，CD=2，求直线DM与平面ACM所成角的正弦值．

难度：中等

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9．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB=2，AF=EF=1
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为
5
10
，求BC的长．

难度：中等

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10．在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁C₁，A₁D₁的中点．
（1）证明：BD⊥A₁C；
（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．

难度：中等

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