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          共50条信息

            • 1． 若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列{
              Sn
              n
              }为等差数列，公差为
              d
              2
              ．类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{
              nTn
              }的公比为（　　）
              A．
              q
              2
              B．q2
              C．
              		q
              D．
              nq
              难度：中等
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            • 2． 阅读以下求1+2+3+…+n的值的过程：
              因为（n+1）2-n2=2n+1
              n2-（n-1）2=2（n-1）+1
              …
              22-12=2×1+1
              以上各式相加得（n+1）2-1=2×（1+2+3+…+n）+n
              所以1+2+3+…+n=
              n2+2n-n
              2
              =
              n(n+1)
              2
              ．
              类比上述过程，求12+22+32+…+n2的值．
              难度：较易
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            • 3． 已知等差数列{an}中，有
              an+1+an+2+…+a2n
              n
              =
              a1+a2+…+a3n
              3n
              成立．类似地，在等比数列{bn}中，
              有    成立．
              难度：中等
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            • 4． “设RT△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥A-BCD中三边AB、AC、AD两两互相垂直，则    ”．
              难度：较易
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            • 5． 专家由圆x2+y2=a2的面积S=πa2通过类比推理猜想椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1的面积S=πab，之后利用演绎推理证明了这个公式是对的！在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|
              x2
              4
              +y2≤1}，点集B={（x，y）|-3＜x＜3，-1＜y＜5}，则点集M={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为    ．
              难度：较易
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            • 6． 如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
              （1）求证：O为△BCD的垂心；
              （2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
              难度：中等
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            • 7． 设F1，F2分别是双曲线
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1（a＞0，b＞0）的左右焦点．
              （1）当a=2b，点P在双曲线上，且
              PF1
              •
              PF2
              =0，|
              PF1
              |-|
              PF2
              |=2时，求双曲线方程．
              （2）已知双曲线
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1具有如下性质，若x=t交双曲线于P，Q，A1，A2为双曲线顶点，则A1P，A2Q交点的轨迹是椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1．
              试对椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1写出具有类似特征的性质，并予以证明．
              难度：中等
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            • 8． 等差数列{an}中．有2an=an-1+an+1（n≥2，且n∈N*）．类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是    ．
              难度：较易
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            • 9． 若数列{an}为等差数列，且am=x，an=y（m≠n），则am+n=
              mx-ny
              m-n
              ．现已知数列{bn}是各项均大于0的等比数列，且bm=x，bn=y（m≠n），则类比等差数列，你能得到什么结论？
              难度：中等
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            • 10． 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”．拓展到空间（如图），类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是    ．
              难度：较易
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