知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P（2，
2
）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一点，且椭圆的离心率为
2
2
，过点A（-α，0）任作两条直线l₁，l₂分别交椭圆于E、F两点，交y轴于M，N两点，E与M两个点不重合，且E，F关于原点对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）以MN为直径的圆是否交x轴于定点Q？若是，求出点Q的坐标；否则，请说明理由．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，点A(1，
3
2
)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P₁，P₂（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP₁，OP₂的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个顶点抛物线x2=4
3
y的焦点重合，F₁与F₂分别是该椭圆的左右焦点，离心率e=
1
2
，且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M．N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若
OM
•
ON
=-2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若AB椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，判断
|AB|2
|MN|
是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，说明理由．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

难度：中等

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5．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
2
，
2
)，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆E交于P、A两点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C点，直线AC交椭圆E与另一点B，当k=
2
时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问∠APB是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由．

难度：中等

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6．已知定点F（1，0），定直线l：x=4，动点P到点F的距离与到直线l的距离之比等于
1
2
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设轨迹E与x轴负半轴交于点A，过点F作不与x轴重合的直线交轨迹E于两点B、C，直线AB、AC分别交直线l于点M、N．试问：在x轴上是否存在定点Q，使得
QM
•
QN
=0？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图所示，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，E的右焦点到直线y=x+1的距离为
2
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右顶点为A，不经过点A的直线l与椭圆E交于M，N两点，且以MN为直径的圆过A，求证：直线l恒过定点，并求出此定点坐标．

难度：中等

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8．如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率是
3
2
，一个顶点是B（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

难度：较难

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，点A(1，
3
2
)在椭圆C上，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x²+y²=5的相交于不在坐标轴上的两点P₁，P₂，记直线OP₁，OP₂的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

难度：较难

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