知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正数x，y满足x²+2xy+4y²=1，则x+y的取值范围是．

难度：较难

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2．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如A(
3
)=2，A(-0.4)=0，A（-1.1）=-1．
（理科）若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．

难度：较难

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3．如图1所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．
（1）若a＞d，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会变大吗？为什么？
（2）现有一根横截面为半圆，半径为
3
的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木（如图2所示），其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

难度：较难

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4．下列命题中的真命题是（　　）

A．若a＞b＞0，a＞c，则a²＞bc

B．若a＞b＞c，则

＞

C．若a＞b，n∈N^*，则aⁿ＞bⁿ

D．若a＞b＞0，则1na＜1nb

难度：中等

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5．已知定义在R上的两个函数f（x），g（x），不等式f（x）＜0的解集为{x|3＜x＜5}，g（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜4}，求
f(x)
g(x)
≥0的解集．

难度：中等

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6．对于每个正整数n，设f（n）=
100
i=1
[lg(in)]，若f（n）＜300，求n的最大值．

难度：中等

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7．设实数x，y满足2≤
x
•y≤3，1≤
x
y
≤2，则使得a≤
x3
y4
≤b恒成立的b的最小值是．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=x-a-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当函数y=f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂∈[
1
2
，
5
2
]且x₁＜x₂时，证明：
①若x₂-x₁≤1，则有
3
ln2+ln9
＜a＜
1
2-ln4
；
②
x2-x1
x1x2
随着a的增大而增大；
③x₁x₂＞1；
（Ⅲ）证明：
n
k=1
k
1+lnk
＞ln（n+1），（n∈N^*）．

难度：中等

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9．从x轴上一点A分别向函数f（x）=-x³与函数g（x）=
2
|x|3+x3
引不是水平方向的切线L₁和L₂分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为S₁，△OAC的面积为S₂，则S₁+S₂的最小值为．

难度：中等

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10．已知函数y=f（x）是R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²），且1≤x≤4，则
y
x
的取值范围是．

难度：较难

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