知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数sinhx=
ex-e-x
2
称为“双曲正弦函数”，类似地，函数coshx=
ex+e-x
2
称为“双曲余弦函数”．
（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．

难度：中等

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2．已知f（x）=2cos（
1
2
x+
π
4
），g（x）=2sin（ωx+
π
3
）（ω＞0）
（1）求f（x）在[-
π
2
，π]上的值域；
（2）若g（
π
3
）=g（
5
6
π），且g（x）在（
π
3
，
5
6
π）内有最小值，无最大值，求ω；
（3）ω取（2）中的值时，若对任意x₁∈[0，α]，都存在x₂∈[-
π
2
，π]，使得f（x₂）=g（x₁），求α的取值范围．

难度：中等

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3．若
1+tanα
1-tanα
=2013，则tan2α+
1
cos2α
= ．

难度：中等

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4．在△ABC中，已知内角A=
π
3
．边BC=2
3
．设内角B=x，面积为y．则y的最大值为．

难度：中等

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5． sinx+
3
cosx=a在区间（0，2π）内的个相异的实数根x₁，x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）求x₁+x₂的值．

难度：中等

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6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成公比大于1等比数列，且sinB=
7
4
．
（1）求
1
tanA
+
1
tanB
的值；
（2）设
BA
•
BC
=
3
2
，求a+c的值．

难度：中等

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7．已知-
π
2
＜α＜0，且函数f（α）=cos（
3π
2
+α）-sinα•
1+cosα
1-cosα
-1．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=
1
5
，求sinα•cosα和sinα-cosα的值．

难度：中等

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8．已知
sin(α-β)
cosαcosβ
=tanα-tanβ，求
1
cos0°cos1°
+
1
cos1°cos2°
+…+
1
cos88°cos89°
的值．

难度：中等

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9．已知sin（-α），cos（-α）是关于x的方程2x²+x+m=0的两个根，且α为第三象限角．
（1）求m的值；
（2）求
1+sinα+cosα+2sinα•cosα
1+sinα+cosα
的值；
（3）求tanα的值．

难度：中等

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10．求y=
sinx-2
cosx-3
的值域．

难度：中等

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