知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•河南二模）如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．
（Ⅰ）求二面角A-PE-D的余弦值；
（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

难度：中等

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2．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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3．（2016•洛阳一模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°（如图2），点G是CD的中点
（1）若M为棱AD上一点，且
AD
=4
MD
，求证：DE⊥平面MFC；
（2）求二面角E-FG-B的余弦值．

难度：中等

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4．（2016•晋中一模）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，FB=
10
，M，N分别为EF，AB的中点．
（I）求证：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．

难度：较难

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5．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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6．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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7．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，点E是AC的中点，点F是线段AD上的动点，AB=BC=2．
（1）若DC∥平面BEF，求
AF
AD
的值；
（2）若EF⊥AD，当平面BEF和平面BCD所成的二面角的余弦值是
2
17
17
时，求CD的长．

难度：中等

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8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，BC=CD=AE=EF=
1
2
AD=1．
（1）求证：CE∥平面ABF；
（2）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为
π
3
？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图，几何体ABCD-B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，平面B₁C₁D₁∥平面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于平面ABCD，且BB₁=
2
a，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（I）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求平面B₁DE与平面FDE所成的锐二面角．

难度：中等

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10．在三棱柱PBC-QAD中，侧面ABCD为矩形，PA⊥CD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=
6
，PB=
2
，PC=2，当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角A-BP-C的大小．

难度：较难

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