知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若矩阵B=
1 -1
0 1
，求直线x+y+1=0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程．

难度：较难

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2．已知矩阵A的逆矩阵A^-1=
-
1
4
3
4
1
2
-
1
2
，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1 -1
0 1
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．

难度：较难

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4．已知矩阵M=
1 2
2 1

（1）求M的逆矩阵M^-1；
（2）求直线l：x=1经M对应的变换T_M变换后的直线l′的方程；
（3）判断
α
=
-1
1
是否为M的特征向量．

难度：中等

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5．已知
k
0
是矩阵A=
1   0
m  2
的一个特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量
k
0
相应的特征值；
（Ⅱ）若矩阵B=
3  2
2  1
，求矩阵B^-1A．

难度：较难

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6．已知直线l：ax+y=1在矩阵A=
1 2
0 1
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

难度：较易

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7．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
3 3
2 4
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

难度：中等

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8．已知矩阵M=
2 a
2 b
的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0，求直线l的方程．

难度：较难

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9．已知矩阵A=
3 3
c d
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．

难度：较易

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10．（1）已知矩阵M=
1 2
2 x
的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
（2）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
①求证：DE是⊙O的切线；②若
AC
AB
=
3
5
，求
AF
DF
的值．
（3）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=t
y=1+2t
（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

难度：较易

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