知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，求
（1）求三棱锥C-EFG的体积；
（2）AD与GF所成角的余弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•宜春期末）如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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3．空间直角坐标系中，点A坐标为（1，
3
，2），且△MNP三个顶点分别满足：M是A在平面xOy上的射影点，N与A关于x轴对称，P与A关于平面xOz对称，则△MNP的面积为．

难度：中等

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4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，动点P满足
CP
=λ
CC1
（λ＞0），当λ=
1
2
时，AB₁⊥BP．
（1）求棱CC₁的长；
（2）若二面角B₁-AB-P的大小为
π
3
，求λ的值．

难度：中等

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5．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P；作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q．现将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连接AQ与A₁P，求四面体AA₁QP的体积；
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．

难度：中等

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6．（已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形且∠ADC=120°，E，F分别是AD，PB的中点且PD=AD
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）若∠PDA=60°，求证：EF⊥BC；
（3）若PD⊥平面ABCD，求二面角A=PB-C的余弦值．

难度：较易

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7．如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=1，延长AC至D，使AC=CD，连接BD，B₁D，C₁D．
（1）求证：AC₁⊥B₁D；
（2）求六面体BB₁-A₁ADC₁的体积；
（3）求平面B₁C₁D与平面ABC所成锐二面角的正切值．

难度：中等

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8．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PD，在四边形ABCD中，BA=AD，BA⊥AD，O是BD的中点，OC=
1
2
OA=
1
3
OP．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）求二面角A-PD-C余弦值．

难度：中等

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9．已知2
a
+
b
=（0，-3，-10），
c
=（1，-2，-2），
a
•
c
=4，|
b
|=12，则＜
b
，
c
＞= ．

难度：中等

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10．已知长方体AC₁中，AB=BC=4cm，AA₁=2cm，E，F分别为BB₁和A₁B₁的中点，求：
（1）EF与AD₁所成的角；
（2）AC₁与B₁C所成的角的余弦值．

难度：较易

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