知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设x₁，x₂，x₃，x₄，x₅是1，2，3，4，5的任一排列，则x₁+2x₂+3x₃+4x₄+5x₅的最小值是．

难度：中等

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2．已知x，y，z＞0．a，b，c是x，y，z的-个排列．求证：
a
x
+
b
y
+
c
z
≥3．

难度：中等

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3．已知n∈N^*，n＞1，n个实数a₁，a₂，…，a_n满足a₁+a₂+…+a_n=0，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．求证：|a₁+2a₂+3a₃+…+n|a_n|≤
n-1
2
．

难度：中等

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4．设a，b，c是某三角形的三边长，证明a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤3abc．

难度：中等

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5．已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．

难度：中等

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6．已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

难度：中等

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7．设正整数构成的数列{a_n}使得a_10k-9+a_10k-8+…+a_10k≤19对一切k∈N^*恒成立．记该数列若干连续项的和
j
p-i+1
ap为S（i，j），其中i，j∈N^*，且i＜j．求证：所有S（i，j）构成的集合等于N^*．

难度：较难

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8．若a₁≤a₂≤…≤a_n，而b₁≥b₂≥…≥b_n或a₁≥a₂≥…≥a_n而b₁≤b₂≤…≤b_n，证明：
a1b1+a2b2+…+anbn
n
≤（
a1+a2+…+an
n
）•（
b1+b2+…+bn
n
）．当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号成立．

难度：中等

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9．设a₁，a₂，…，a_n为正数，求证：
a
2
1
a2
+
a
2
2
a3
+…+
a
2
n-1
an
+
a
2
n
a1
≥a₁+a₂+…+a_n．

难度：中等

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10．设a，b，c是正实数，求证：a^ab^bc^c≥（abc）
a+b+c
3
．

难度：中等

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