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共50条信息

1．已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2．则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+…+
f2(2016)+f(4032)
f(4031)
= ．

难度：中等

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2．已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足f（2）=1．
（1）求f(4)，f(
1
2
)的值；
（2）求满足f（2x）-f（x-3）＞2的x的取值范围．

难度：中等

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3．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈（-1，0）时，f（x）=3^x，则f（log

1

3

8）的值为（　　）

A．8

B．-8

C．

8

9

D．-

8

9

难度：中等

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4．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，∀x₁，x₂∈[0，
1
2
]，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（
1
2
）和f（
1
4
）；
（2）求证：f（x）为周期函数；
（3）设a_n=f（2n+
1
2n
），求a_n．

难度：中等

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5．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递减函数是（　　）

A．f（x）=x

1

2

B．f（x）=x³

C．f（x）=（

1

2

）^x

D．f（x）=log

1

2

x

难度：较易

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6．己知f（x）与g（x）的定义域相同，且恒有f（-x）+f（x）=0，g（-x）g（x）=1，又g（x）=1的解集为{0}
（1）判断函数F（x）=
2f(x)
g(x)-1
+f（x）的奇偶性；
（2）若xF（x）+3在[-3，0）∪（0，3]的最大值和最小值分别为M和m，求M+m的值．

难度：中等

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7．若函数y=f（x）对∀x∈R恒有f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）成立，且y=f（x）不是常值函数，则函数y=f（x）在区间[-3，3]上的零点至少有（　　）

A．3个

B．4个

C．6个

D．7个

难度：中等

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8．设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²-1，若关于x的方程f（x）-k（x-1）=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（　　）

A．（

3

-

2

，4-

13

）

B．（8-2

15

，4-

13

）

C．（5-2

6

，4-2

3

）

D．（8-2

15

，4-2

3

）

难度：较难

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9．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的m，n∈R⁺，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（6）=-1，解不等式f（x+3）＜-2-f（x）；
（3）比较f（
m+n
2
）与
1
2
[f（m）+f（n）]的大小（其中m，n＞0，m≠n）．

难度：较难

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10．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

难度：中等

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