知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，|AF₁|=
2
-1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l经过F₂与椭圆交于M，N两点，求
F1M
•
F1N
取值范围．

难度：中等

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2．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x²+y²=
4
3
相切，且抛物线y²=-4
2
x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．

难度：中等

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3．已知直线y=k（x-2）与抛物线Γ：y2=
1
2
x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使
NA
•
NB
=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（0，-1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．

难度：中等

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5．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
5
5
，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得
1
|AB|
+
λ
|CD|
为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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