知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设矩阵M=
a 0
0 b
（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：
x2
4
+y²=1，求a，b的值．

难度：中等

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2．已知数组a=（1，2，x），b=（y，3，4）c=（0，z，1）且2a+b=c求x，y，z．

难度：较难

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3．曲线y²-x-2y=0在二阶矩阵M=
1 a
b 1
的作用下变换为曲线y²=x；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求M的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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4．已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（1，1），C（1，3）．若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A₁B₁C₁，其中B（1，1）在变换T作用下变为点B₁（1，-1）．
（1）求切变变换T所对应的矩阵M；
（2）将△A₁B₁C₁绕原点O按顺时针方向旋转30°后得到△A₂B₂C₂．求△A₂B₂C₂的面积．

难度：较难

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5．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．求矩阵M．

难度：较难

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6．设矩阵A=
.
5 3
-2 0
.
，若存在一矩阵P=
.
-1 3
1 -2
.
使得A=PBP^-1．试求：
（Ⅰ）矩阵B；
（Ⅱ）B³．

难度：较难

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7．已知直线l：ax+y=1在矩阵A=
2 3
0 1
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若点P（x₀，y₀）在直线l上，且A
x0
y0
=
x0
y0
，求点P的坐标．

难度：较难

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8．已知a，b∈R，若矩阵M=（
-1 a
b 3
）所对应的变换把直线l：x+y=1变换为自身．
（Ⅰ）求实数a，b
（Ⅱ）若向量e₁=（
1
1
），e₂=（
1
-1
），试判断e₁和e₂是否为M的特征向量，并证明之．

难度：较难

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9．已知矩阵M=
1 0
2 1
．
（Ⅰ）请写出矩阵M对应的变换f的变换公式；
（Ⅱ）从变换的角度说明矩阵M可逆吗？如果可逆，请用求逆变换的方式求出对应的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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10．求使等式
24
35
=
20
01
M成立的矩阵M．

难度：较难

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