知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=
1
1+px+qx2
（其中p²+q²≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{a_n}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a₁x+a₂x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）求a₁，a₂的值（用p，q表示）；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当n∈N^*且n≥2时，比较（a_n-1）^a_n与（a_n） an-1的大小．

难度：中等

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2．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=λ，并且
xn+1
xn
=λ
xn
xn-1
（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
（Ⅰ）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求λ的值；
（Ⅱ）设0＜λ＜1，常数k∈N^*，证明
x1+k
x1
+
x2+k
x2
+…+
xn+k
xn
＜
λk
1-λk
(n∈N*)．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

难度：较难

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4．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项的和，已知a₁+a₃=22，S₅=45．
（1）求a_n，S_n；
（2）设数列{S_n}中最大项为S_k，求k．

难度：较易

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5．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S_n=
a(1-qn)
1-q
；
（2）等比数列{a_n}中，是否存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na_n}的前n项和T_n，是否存在正整数n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+a₁，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
3
2
对任意正整n成立．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

难度：较难

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8．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
an
2an+1
（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N时，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞
12
35
（log₃m-log₂m+1）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中各项都不为零，且a₁=1，a_n+1=
an
3+2an

（1）证明：数列{
1
an
+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：
a1
a1+1
+
a2
a2+1
+
a3
a3+1
+…+
an
an+1
＜
3
4
．

难度：中等

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10．正项数列{a_n}的前n项和S_n满足12S_n=
a
2
n
+6a_n+5．且a₁＜2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使T_n＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）记C_n=
1
2
（
an+1
an
+
an
an+1
）（n∈N^*），求和：B_n=C₁+C₂+…+C_n．

难度：中等

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