知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20142
+
1
20152
，则不大于S的最大整数[S]是．

难度：较难

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2．已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．
（1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，请你用l分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；
（2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明）．

难度：中等

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3．某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下四个结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；
其中所有正确结论的序号是．

难度：较难

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4．若函数f（2x+1）=x²-2x，则f（3）= ．

难度：中等

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5．设a、b∈R⁺且a+b=3，求证
1+a
+
1+b
≤
10
．

难度：中等

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6．已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

难度：较难

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7．已知m＞0，a，b∈R，求证：(
a+mb
1+m
)2≤
a2+mb2
1+m
．

难度：较难

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8．已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求证：
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2；
（2）求：
1
a
+
1
b
+
1
ab
的最小值．

难度：中等

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9．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD₁∥EF．

难度：中等

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10．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7}，a_i（i=1，2，3，4）是T中可重复选取的元素．
（1）若将集合M={a₁×8³+a₂×8²+a₃×8+a₄|a_i∈T，i=1，2，3，4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a_i（i=1，2，3，4）的值；
（2）若将集合N={
a1
8
+
a2
82
+
a3
83
+
a4
84
|a_i∈T，i=1，2，3，4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a_i（i=1，2，3，4）的值．

难度：中等

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