知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知曲线C： $y%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ， $D$ 为直线 $y%3D%E2%88%92%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ 上的动点，过 $D$ 作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以 $E%280%2C%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%29$ 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

难度：较难

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2．如图，在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），过直线l：x=2左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且PH= $%5Csqrt%7B2%7D$ MF，记动点P的轨迹为曲线P．

（1）求曲线P的方程．
（2）过点F作直线m交曲线P于A，B两点，点C在l上，且BC∥x轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由．

难度：难

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3．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设A₁，A₂分别为C的左右顶点，P为C异于A₁，A₂一点，直线A₁P与A₂P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．

难度：中等

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4．已知点F是抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点，点M是抛物线上的定点，且 $%5Coverrightarrow%7B%5Ctext%7BMF%7D%7D$ ＝（4，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线AB与抛物线C交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|x₂－x₁|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否是定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

难度：难

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5．
已知椭圆 $C%7B%3A%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7B%2B%7D%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7B%3D%7D1%28a%7B%20%20%3E%20%7Db%7B%20%20%3E%20%7D0%29$ ，右焦点 $F$ 的坐标为 $%7B%28%7D2%7B%2C%7D0%7B%29%7D$ ，且点 $%7B%28%7D2%7B%2C%7D%5Csqrt%7B2%7D%7B%29%7D$ 在椭圆 $C$ 上.

（1）求椭圆 $C$ 的方程及离心率；

（2）过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A%7B%2C%7DB$ 两点（直线不与 $x$ 轴垂直），已知点 $A$ 与点 $P$ 关于 $x$ 轴对称，证明：直线 $%7BPB%7D$ 恒过定点，并求出此定点坐标．

难度：难

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6．已知椭圆C： $%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7B%2B%7D%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，点P是椭圆上的任意一点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线 $%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%7B-%7D%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B12%7D$ =1的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P（-1， $%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$ ），过点P作两条直线l₁，l₂与圆（x+1）²+y²=r²（0＜r＜ $%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$ ）相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．

难度：难

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7．
已知椭圆 $C%7B%3A%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7B%2B%7D%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7B%3D%7D1%28a%7B%20%20%3E%20%7Db%7B%20%20%3E%20%7D0%29$ 的右焦点 $F_%7B1%7D$ 与抛物线 $y%5E%7B2%7D%7B%3D%7D4x$ 的焦点重合，原点到过点 $A%28a%7B%2C%7D0%29$ ， $B%280%7B%2C-%7Db%29$ 的直线的距离是 $%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B21%7D%7D%7B7%7D$ ．
$%28$ 1 $%29$ 求椭圆 $C$ 的方程；
$%28$ 2 $%29$ 设动直线 $l%EF%BC%9Ay%3Dkx%2Bm$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点 $P$ ，过 $F_%7B1%7D$ 作 $PF_%7B1%7D$ 的垂线与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，求证：点 $Q$ 在定直线上，并求出定直线的方程．

难度：中等

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