知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•淄博校级期末）某学校拟在广场上建造一个矩形花园，如图所示，中间是完全相同的两个椭圆型花坛，每个椭圆型花坛的面积均为216π平方米，两个椭圆花坛的距离是1.5米．整个矩形花坛的占地面积为S．
（注意：椭圆面积为πab，其中a，b分别为椭圆的长短半轴长）
（1）根据图中所给数据，试用a、b表示S；
（2）当椭圆形花坛的长轴长为多少米时，所建矩形花园占地最少？并求出最小面积．

难度：中等

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2．（文）已知a²+

c²-3=0，则c+2a的最大值是（　　）

A．2

B．2

C．2

D．3

难度：中等

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3．椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的面积为．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，P为椭圆上异于A₁，A₂的点，PA₁和PA₂的斜率之积为-
3
4
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△MON面积的最大值．

难度：较难

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5．（2012春•武汉校级期末）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F₁上，片门位于另一个焦点F₂上，由椭圆一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F₂．已知BC⊥F₁F₂，|F₁B|=3m，|F₁F₂|=4cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

难度：中等

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6．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，且过点B（0，1），M（2，t）（t＞0）是动点
（1）求椭圆的标准方程
（2）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值
（3）设点P（x，y）在椭圆上，求x+y的最大、最小值．

难度：中等

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7．若2x²+3y²=64，则x²+y²的最大值是．

难度：较易

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8．已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50×10⁸km，离心率e=0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆上的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．

难度：中等

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9．两边靠墙的角落有一个区域，边界线正好是椭圆轨迹的部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上．
（1）根据所给条件，求出椭圆的标准方程；
（2）求长方形面积S与边长x的函数关系式；
（3）求当边长x为多少时，面积S有最大值，并求其最大值．

难度：中等

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10．公园中有一个月亮门，上边是半径为
17
2
m的圆的劣弧，下边是长半轴等于2m，短半轴等于1m的半个椭圆，现要搬运一个横截面为矩形的货箱水平通过该月亮门．若矩形货箱的横截面的水平底边长为2m，则该货箱的高所允许的最大值为多少m．

难度：中等

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