知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（选修4-2：矩阵与变换）设 M=
1 0
0 2
，N=
1
2
0
0 1
，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．

难度：中等

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2．已知5×5数字方阵：
a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
中，aij=
1(j是i的整数倍)
-1(j不是i的整数倍)
，则
5
j=2
a3j+
4
i=2
ai4= ．

难度：中等

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3．若关于x，y，z的三元一次方程组
x+z=1
2x+ysinθ+3z=2
xsin2θ+z=3
有唯一解，则θ的取值的集合是．

难度：中等

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4．已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．

难度：中等

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5．本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T₁是逆时针旋转90°的旋转变换，对应的变换矩阵为M₁，变换T₂对应的变换矩阵是M2=
11
01
；
（I）求点P（2，1）在T₁作用下的点Q的坐标；
（II）求函数y=x²的图象依次在T₁，T₂变换的作用下所得的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标系与参数方程
从极点O作一直线与直线l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一点P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求动点P的极坐标方程；
（Ⅱ）设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≥
1
2
或x≤-
5
6
}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x-1）＞b对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．

难度：较难

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6．圆x²+y²=1在矩阵
1 0
0
1
2
对应的变换作用下的结果为．

难度：中等

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7．线性方程组
2x-z=-1
x+2y=0
y+z=2
的增广矩阵是．

难度：较易

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8．当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量R_n用表示，狐狸数量用F_n表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R₀=100只，狐狸数量有F₀=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出R_n、F_n关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．

难度：较难

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9．求两两不同的三元实数组（x，y，z）满足{x，y，z}={
x-y
y-z
，
y-z
z-x
，
z-x
x-y
}．

难度：中等

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10．已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

难度：中等

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