知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湖南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•福建模拟）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EF∥AC，AD=2，EA=ED=EF=
3
．
（Ⅰ）求证：AD⊥BE；
（Ⅱ）若BE=
5
，求三棱锥F-BCD的体积．

难度：中等

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3．（2016•衡阳三模）如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．
（1）证明：EF⊥BD；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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4．（2016•泰安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

难度：中等

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5．（2016•云南一模）如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥D-ABC的体积．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=
2
AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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7．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且PA=AC，点E为PC的中点．
（1）求证：△PBC是直角三角形；
（2）求证：AE⊥平面PBC．

难度：中等

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8．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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9．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，AB=1，AP=
2
，点M在PC上，则AM+DM的最小值为．

难度：中等

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10．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N是PC中点．
（1）求证：MN∥面PAB；
（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证CM⊥AD．

难度：中等

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