知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

$2015$年$12$月$10$日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为$x$，$y$，$z$，并对它们进行量化：$0$表示不合格，$1$表示临界合格，$2$表示合格，再用综合指标$ω=x+y+z$的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若$ω\geqslant 4$，则长势为一级；若$2\leqslant ω\leqslant 3$，则长势为二级；若$0\leqslant ω\leqslant 1$，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了$10$块青蒿人工种植地，得到如表结果：

种植地编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
$(x,y,z)$	$(0,1,0)$	$(1,2,1)$	$(2,1,1)$	$(2,2,2)$	$(0,1,1)$
种植地编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
$(x,y,z)$	$(1,1,2)$	$(2,1,2)$	$(2,0,1)$	$(2,2,1)$	$(0,2,1)$

$(1)$在这$10$块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标$z$相同的概率；
$(2)$从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为$m$，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为$n$，记随机变量$X=m-n$，求$X$的分布列及其数学期望．

难度：较易

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2．
某市举行了一次初一学生调研考试，为了解本次考试学生的数学学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数$($满分为$100$分，得分取正整数，抽取学生的分数均在$[50,100]$之内$)$作为样本$($样本容量$n)$进行统计，按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100)$的分组方法作出频率分布直方图，并作出了样本分数的茎叶图$($茎叶图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[80,90)$的数据$]$．

$($Ⅰ$)$求频率分布直方图中的$x$，$y$的值，并估计学生分数的中位数；
$($Ⅱ$)$字在选取的样本中，从成绩在$80$分以上的学生中随机抽取$2$名学生，求所抽取的$2$名学生中恰有一人得分在$[90,100]$内的概率．

难度：易

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3．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
质量指标（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（1，1，1）	（1，2，1）
产品编号	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
质量指标（x，y，z）	（1，2，2）	（2，1，1）	（2，2，1）	（1，1，1）	（2，1，2）

（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．

难度：较易

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4．甲、乙两人投篮命中的概率为别为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ 与 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．
（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；
（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）．

难度：较易

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5．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．

难度：较易

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6．为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表
评估的平均得分（0，6）（6，8）（8，10）
全市的总体交通状况等级不合格合格优秀
（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；
（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．

难度：较易

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7．一枚硬币连续掷2次，求：
（1）写出它的基本事件空间；
（2）有一次正面朝上的概率是多少？

难度：易

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8．新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（I）求学生小张选修甲的概率；
（II）记“函数f（x）=x²+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（III）求ξ的分布列和数学期望．

难度：较易

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9．
【题文】在一个盒子里装有4枝圆珠笔，其中3枝一等品，1枝三等品
(1)从盒子里任取2枝恰有1枝三等品的概率多大？
(2)从盒子里第一次任取1枝（不放回），第二次任取1枝；第一次取的是三等品，第二次取的是一等品的概率有多大？

难度：中等

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10．
（本小题满分13分）

袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用表示所有被取球的编号之和．

（Ⅰ）求的概率分布；

（Ⅱ）求的数学期望与方差．

难度：易

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种植地编号	\(A_{1}\)	\(A_{2}\)	\(A_{3}\)	\(A_{4}\)	\(A_{5}\)
\((x,y,z)\)	\((0,1,0)\)	\((1,2,1)\)	\((2,1,1)\)	\((2,2,2)\)	\((0,1,1)\)
种植地编号	\(A_{6}\)	\(A_{7}\)	\(A_{8}\)	\(A_{9}\)	\(A_{10}\)
\((x,y,z)\)	\((1,1,2)\)	\((2,1,2)\)	\((2,0,1)\)	\((2,2,1)\)	\((0,2,1)\)

评估的平均得分	（0，6）	（6，8）	（8，10）
全市的总体交通状况等级	不合格	合格	优秀