知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%5E%7B%C2%A0%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（x₁，y₁）是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，椭圆的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$
（I）求椭圆E的标准方程；
（II）直线PF₁交椭圆E于另一点Q（x₁，y₂），椭圆右顶点为A，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BAQ%7D$ =3，求直线PF₁的方程；
（III）过点M（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7Dx_%7B1%7D$ ，0）作直线PF₁的垂线，垂足为N，当x₁变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．若椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点（-3，2）离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）²+（y-6）²=4，过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的最大值与最小值．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D-1$ ．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（ $-%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B4%7D%EF%BC%8C0$ ），证明： $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ 为定值．

难度：中等

解析收藏试题篮
5．椭圆 $%20%5Cfrac%20%7B%C2%A0x%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，右焦点到直线 $x%2By%2B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%3D0$ 的距离为 $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l交x轴于N， $%20%5Coverrightarrow%20%7BNA%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B5%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BNB%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

解析收藏试题篮
6．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且经过点 $M%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A01%29$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

难度：难

解析收藏试题篮
7．已知命题p：方程 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bm-2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4-m%7D$ =1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B3-m%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bm%7D$ =1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

难度：较易

解析收藏试题篮
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且过点（2， $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=- $%20%5Cfrac%20%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ ，
（i）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的最值．
（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．

难度：较易

解析收藏试题篮
10．已知直线L：x=my+1过椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）若抛物线x²=4 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D$ =λ₁ $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ =λ₂ $%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ ，当m变化时，求λ₁+λ₂的值．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷