知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，其左顶点A在圆O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得
|PQ|
|AP|
=3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

难度：较难

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2．如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，过F₂作垂直于x轴的直线交椭圆于P点（点P在x轴上方），连结PF₁并延长交椭圆于另一点Q．设
PF1
=λ
F1Q
（2≤λ≤
7
3
）．
（1）若PF₁=
6
5
5
，PF₂=
4
5
5
，求椭圆的方程；
（2）求椭圆的离心率的范围；
（3）当离心率最大时，过点P作直线l交椭圆于点R，设直线PQ的斜率为k₁，直线RF₁的斜率为k₂，若k₁=
3
2
k2，求直线l的斜率k．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中e=
1
2
（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为
4
7
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点(0 ，
2
)，且满足a+b=3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）斜率为
1
2
的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂．
①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k₁，k₂的值；
②试探究k₁+k₂是否为定值？并说明理由．

难度：较难

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5．已知定点 A（-
1
2
，0），B是圆C：（x -
1
2
）²+y²=4上的一个动点，线段AB的垂直平分线交BC于M点，求动点M的轨迹方程．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（1，
3
2
），且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点P(
1
5
，0)，求k的取值范围．

难度：较难

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7． mn＞0是

=1表示椭圆的（　　）条件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要条件

D．既不充分也不必要

难度：较易

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8．求适合下列条件的曲线方程．
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆标准方程；
（2）顶点是双曲线16x²-9y²=144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴的抛物线的标准方程．

难度：较易

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9．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
2
2
3
，椭圆C的右焦点到右准线的距离为
2
4
，椭圆C的下顶点为D．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P、M．求证：直线PM经过一定点．

难度：中等

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10．已知圆M：x²+（y+1）²=1，圆N：x²+（y-1）²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为（　　）

A．

=1（y≠-2）

B．

C．

=1（x≠-2）

D．

难度：中等

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