知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求证：AP⊥面PCD．

难度：较易

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2．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁和侧面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的长度．

难度：较易

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3．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2，AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BC=4．
（1）求证：DE∥平面PAB；
（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

难度：较易

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4．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出 $%20%5Cfrac%20%7BAN%7D%7BNP%7D$ 的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图ABCD为矩形，CDFE为梯形，CE⊥平面ABCD，O为BD的中点，AB=2EF
（Ⅰ）求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）若ABCD为正方形，求证：平面ACE⊥平面BDF．

难度：较易

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6．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

难度：较易

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7．在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ AC．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；
（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．

难度：较易

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8．在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．

难度：较难

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9．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD， $AB%3DAD%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7DCD%3D2$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BEM%7D%3D%CE%BB%20%5Coverrightarrow%20%7BEC%7D%280%EF%BC%9C%CE%BB%EF%BC%9C1%29$ ．
（1）当 $%CE%BB%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求证：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B38%7D%7D$ 时，求λ的值．

难度：较易

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10．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求证：平面BED⊥平面AED．

难度：较易

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