知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，矩形\(ABCD\)所在平面与三角形\(ABE\)所在平面互相垂直，\(AE=AB\)，\(M\)，\(N\)，\(H\)分别为\(DE\)，\(AB\)，\(BE\)的中点．
\((1)\)求证：\(MN/\!/\)平面\(BEC\)；
\((2)\)求证：\(AH⊥CE\)．

难度：较易

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2．
如图，在直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AB=BC=BB_{1}\)，\(AB_{1}∩A_{1}B=E\)，\(D\)为\(AC\)上的点，\(B_{1}C/\!/\)平面\(A_{1}BD\)．
\((1)\)求证：\(BD⊥\)平面\(A_{1}ACC_{1}\)；
\((2)\)若\(AB=1\)，且\(AC⋅AD=1\)，求二面角\(B-A_{1}D-B_{1}\)的余弦值．

难度：较易

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3．
如图，四面体\(ABCD\)中，\(O\)、\(E\)分别是\(BD\)、\(BC\)的中点，\(CA=CB=CD=BD=2\)，\(AB=AD= \sqrt {2}\)．
\((1)\)求证：\(OE/\!/\)平面\(ACD\)；
\((2)\)求直线\(AC\)与平面\(BCD\)所成角的正弦值．

难度：较易

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4．
如图，多面体\(ABCDEF\)中，\(AD/\!/BC\)，\(AB⊥AD\)，\(FA⊥\)平面\(ABCD\)，\(FA/\!/DE\)，且\(AB=AD=AF=2BC=2DE=2\)．
\((\)Ⅰ\()M\)为线段\(EF\)中点，求证：\(CM/\!/\)平面\(ABF\)；
\((\)Ⅱ\()\)求多面体\(ABCDEF\)的体积．

难度：较易

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5．
如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧棱\(AA_{1}⊥\)底面\(ABC\)，\(D\)为棱\(BC\)的中点，\(AB=AC\)，\(BC= \sqrt {2}AA_{1}\)，求证：
\((1)A_{1}C/\!/\)平面\(ADB_{1}\)；
\((2)BC_{1}⊥\)平面\(ADB_{1}\)．

难度：较易

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6．
如图，四面体\(ABCD\)中，\(O\)、\(E\)分别是\(BD\)、\(BC\)的中点，\(CA=CB=CD=BD=2\)，\(AB=AD= \sqrt {2}\)
\((1)\)求证：\(OE/\!/\)平面\(ACD\)；
\((2)\)求直线\(OC\)与平面\(ACD\)所成角的正弦值．

难度：较易

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7．

如图，正四棱锥\(P-ABCD\)中，\(ABCD\)是正方形，\(O\)是正方形的中心，\(PO⊥\)底面\(ABCD\)，\(E\)是\(PC\)的中点．
\((I)\)证明：\(PA/\!/\)平面\(BDE\)；
\((II)\)证明：平面\(PAC⊥\)平面\(BDE\)；
\((III)\)已知：\(AB=PA=2\)，求点\(C\)到面\(BDE\)的距离．

难度：中等

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8．
如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(CA=CB=CC_{1}=2\)，\(∠ACC_{1}=∠CC_{1}B_{1}\)，直线\(AC\)与直线\(BB_{1}\)所成的角为\(60^{\circ}\)．
\((I)\)求证：\(AB_{1}⊥CC_{1}\)；
\((II)\)若\(AB_{1}= \sqrt {6}\)，求点\(B\)到平面\(AB_{1}C\)的距离．

难度：较易

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9．
如图，在棱长均为\(1\)的直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(D\)是\(BC\)的中点．
\((1)\)求证：\(AD⊥\)平面\(BCC_{1}B_{1}\)；
\((2)\)求点\(C\)到平面\(AC_{1}D\)的距离．

难度：较难

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10．
如图，已知多面体\(EABCDF\)的底面\(ABCD\)是边长为\(2\)的正方形，\(EA⊥\)底面\(ABCD\)，\(FD/\!/EA\)，且\(FD= \dfrac {1}{2}EA=1\)．
\((1)\)记线段\(BC\)的中点为\(K\)，在平面\(ABCD\)内过点\(K\)作一条直线与平面\(ECF\)平行，要求保留作图痕迹，并写出该直线与\(CF\)所成角的余弦值，但不要求证明和解答过程．
\((2)\)求直线\(EB\)与平面\(ECF\)所成角的正弦值．

难度：较易

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