知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2， $PC%3DPD%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPC%7D$ 的值；若不存在，说明理由．

难度：较易

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2．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，点E在棱PC上．
（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

难度：中等

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3．如图所示，已知P，Q分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心，证明：PQ∥平面BCC₁B₁．

难度：较易

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4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3BC．
（I）求证：AB⊥PD；
（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求A到平面BCE的距离．

难度：较易

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6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8CBC%3D1%EF%BC%8CAA_%7B1%7D$ =AC=2，E，F分别为A₁C₁，BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE．

难度：较易

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7．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′直径，FB是圆台的一条母线．
（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥面ABC；
（2）已知 $EF%3DFB%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7DAC%3D2$ ，AB=BC，求二面角F-BC-O的余弦值．

难度：较易

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8．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，∠BAD=120°，G、F分别是线段CE，PB上的动点，且满足 $%20%5Cfrac%20%7BPF%7D%7BPB%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BCG%7D%7BCE%7D%3D%CE%BB%E2%88%88%280%EF%BC%8C1%29$
（1）求证：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得平面PAG⊥平面PCE．

难度：较易

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9．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，E是BC中点，CB=CD，AB=AD．求证：
（1）BD⊥AC
（2）OE∥平面ADC．

难度：较易

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求证：AD∥平面PBC．

难度：较易

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