知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若直线l的方向向量为（4，2，m），平面α的法向量为（2，1，-1），且l⊥α，则m= ．

难度：较易

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2．在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点
（1）求证：CF∥平面A′DE
（2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值．

难度：中等

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3．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=
2
．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

难度：较难

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4．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在点D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求实数t的值，并判断D点的位置；
（2）在（1）成立的条件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，E是SD的中点，AD=
2
，DC=SD=2．
（1）证明：SB∥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的余弦值；
（3）设点F在侧棱SC上，∠ABF=60°，求
SF
FC
．

难度：中等

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6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=
3
，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

难度：中等

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7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面AA₁C₁C⊥侧面ABB₁A₁，AA₁=A₁C=CA=2，AB=A1B=
2
．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求二面角A-BC-A₁的余弦值；
（3）若
BD
=2
DB1
，在线段CA₁上是否存在一点E，使得DE∥平
面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD．
（1）若PD=2，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角D-PB-C的余弦值；
③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；
（2）若PD=m，记二面角D-PB-C的大小为θ，若θ＜60°，求m的取值范围．

难度：中等

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9．一条线段AB的两端点A，B和平面α的距离分别是30cm和50cm，P为线段AB上一点，且PA：PB=3：7，则P到平面α的距离为（　　）

A．36cm

B．6cm

C．36cm或6cm

D．以上都不对

难度：中等

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10．如图，在正四棱锥S-ABCD中，AB=8
2
，SA=10，M、N、O分别是SA、SB、BD的中点．
（1）设P是OC的中点，证明：PN∥平面BMD；
（2）求直线SO与平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC内是否存在一点G，使NG⊥平面BMD，若存在，求线段NG的长度；若不存在，说明理由．

难度：中等

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