知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AC=BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2
2
．
（1）若AB⊥PB，求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）在（1）的条件下，求二面角P-AB-D的大小．

难度：中等

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3．（2015秋•绍兴校级期中）如图，弧
AEC
是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧
AC
的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=
5
a，FE=
6
a．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得
FQ
=λ
FE
，
FR
=λ
FB
，求当RD最短时，平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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4．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=
2
，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•大连校级期末）已知三棱柱ABC-A′B′C′如图所示，四边形BCC′B′为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小．

难度：中等

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6．如图，圆柱OO₁内接直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，该三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，且AB=AA₁．在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P
（1）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（2）记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求sinθ的值．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1，点E在棱PC上，且DE⊥PB．
（Ⅰ）求CE的长；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的正弦值．

难度：中等

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8．如图，△BCD与△ECD都是边长为2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求点A到平面EBC的距离；
（Ⅲ）求平面ACE与平面BCD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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9．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．

难度：中等

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