\((1)\)已知函数\(f(x)\)对任意实数\(x\)均有\(f(x)=kf(x+2)\)，其中常数\(k\)为负数，且\(f(x)\)在区间\(\left[ 0,2 \right]\)上有表达式\(f(x)=x(x-2)\)．

\((I)\)求\(f(-1)\)，\(f(2.5)\)的值；

\((II)\)写出\(f(x)\)在\(\left[ -3,3 \right]\)上的表达式，并讨论函数\(f(x)\)在\(\left[ -3,3 \right]\)上的单调性；

\((III)\)求出\(f(x)\)在\(\left[ -3,3 \right]\)上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

\((2)\)要想在一块圆心角\(\alpha (0 < \alpha < \pi )\)、半径为\(R\)的扇形铁板中截取出一块面积最大的矩形，应该怎样截取？求这个矩形的面积\(.\)  \((\)备注：已知\(\theta \in (0,\dfrac{\pi }{2})\)， 比如：\(\sin \theta =\dfrac{1}{3}\)，则\(\theta =\arcsin \dfrac{1}{3}\)；再如：\(\cos \theta =\dfrac{1}{3}\)，则\(\theta =\arccos \dfrac{1}{3}\)；    若\(\tan \theta =\dfrac{1}{2}\)，则\(\theta =\arctan \dfrac{1}{2}\)\(.)\)

给出下列等式：\(①\arcsin \dfrac{\pi }{2}=1\)；\(②\arcsin \left( -\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{\pi }{6}\)；\(③\arcsin \left( \sin \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{\pi }{3}\)；\(④\sin \left( arc\sin \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}\)，其中正确等式的个数是\((\)　　\()\)

若角\(α\)是三角形的一个内角，且\(\sin α= \dfrac{1}{3}\)，则\(α\)等于\((\)　　\()\)

已知\(\tan \alpha ,\dfrac{1}{\tan \alpha }\)是关于\(x\)的方程\({{x}^{2}}-kx+{{k}^{2}}-3=0\)的两个实根，且\(\pi < \alpha < \dfrac{3}{2}\pi .\)

\((1)\)求\(\cos \alpha +\sin \alpha \)的值。

\((2)\)求\( \dfrac{\sin (a-3π)+\cos (π-a)+\sin ( \dfrac{3π}{2}-a)-2\cos ( \dfrac{π}{2}+a)}{\sin (-a)+\cos (π+a)\;} \)的值

已知\(0 < α < \)_{\(\dfrac{\pi }{{2}}\)} \( < β < π\)，_{\(\tan \dfrac{α}{2}= \dfrac{1}{2},\cos (β-α)= \dfrac{ \sqrt{2}}{10} \)}

\((1)\)求_{\(\dfrac{\cos 2\alpha }{\sqrt{2}\cos (\dfrac{\pi }{4}+\alpha )\sin \alpha }\)} 的值

\((2)\)求\(β\)的值

已知方程\(6{{x}^{2}}+5x+1=0\)的两实根为\(mn\)，则\(\arctan m+\arctan n=\) ________．