知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知$x$，$y$都是正数，且$xy=1$，求证：$(1+x+y^{2})(1+y+x^{2})\geqslant 9$．

难度：易

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2．
如图所示，用总长为定值$l$的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
$(1)$设场地面积为$y$，垂直于墙的边长为$x$，试用解析式将$y$表示成$x$的函数，并确定这个函数的定义域；
$(2)$怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

难度：易

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3．已知x＞0，y＞0，x+y=2，求证：（1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ ）（1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7By%7D$ ）≥4．

难度：易

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4．已知a＞0，b＞0，且a+2b= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bb%7D$
（1）证明a+2b≥4；
（2）若（a-1）（b-1）＞0，求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Blog_%7B2%7Da%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Blog_%7B2%7Db%7D$ 的最小值．

难度：易

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5．（1）设0＜x＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，求函数y=x（2-x）的最大值
（2）已知x＞3，求y=x+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx-3%7D$ 的最小值．

难度：易

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6．已知x＞0，y＞0，且2x+y=6，求4x²+y²的最小值．

难度：易

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7．已知a，b∈（0，+∞），且2^a4^b=2．
（Ⅰ）求 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ 的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式 $%7Cx-1%7C%2B%7C2x-3%7C%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ 成立，求实数x的取值范围．

难度：易

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8．已知正实数a，b，c为三角形的三边长，求证： $%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7Ba%2Bb%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%2Bc%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bc%2Ba%7D$ ＞2．

难度：易

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9．请用多种方法证明不等式：（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）
已知a，b∈（0，+∞），证明： $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bb%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%7D$ ≥ $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bb%7D$ ．

难度：易

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10．设a＞b＞c，且a+b+c=0，求证： $%20%5Csqrt%20%7Bb%5E%7B2%7D-ac%7D$ ＞ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ a．

难度：易

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