知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{n+1}=2a_{n}-n+1(n∈N^{*})$，$a_{1}=3$．
$(1)$证明数列$b_{n}=a_{n}-n(n∈N^{*})$是等比数列，并求数列$\{a_{n}\}$的通项；
$(2)$设$c_{n}= \dfrac {a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$，数列$\{c_{n}\}$的前$n$项和为$\{S_{n}\}$，求证：$S_{n} < 1$．

难度：易

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2．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}= \dfrac {n^{2}+n}{2}$，$n∈N^{*}$．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$设$b_{n}=2a_{n}+(-1)^{n}a_{n}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$2n$项和．

难度：易

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3．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明数列{ $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$ }是等差数列；
（Ⅱ）求数列{ $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D$ }的前n项和．

难度：易

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4．数列{a_n}的前n项和S_n=33n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：{a_n}是等差数列．

难度：易

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5．已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=n²-3n．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7Bn%7D%2B4n%7D$ ，数列{b_n}的前n项和T_n（n∈N*），当T_n＞ $%20%5Cfrac%20%7B2016%7D%7B2017%7D$ 时，求n的最小值．

难度：易

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6．已知数列{a_n}是等差数列，前n项和为S_n，若a₁=9，S₃=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₅，a₈，S_k成等比数列，求k的值．

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7．在等差数列{a_n}中，已知a₂=2，a₄=4
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设b_n=2 $%C2%A0%5E%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{b_n}前n项的和S_n．

难度：易

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8．已知数列{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₂=9，a₄=81．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=log₃a_n，求证：数列{b_n}是等差数列．

难度：易

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9．

已知数列$\{a_{n}\}$满足$S_{n}+a_{n}=2n+1$，$(n∈N*)$

$($Ⅰ$)$求出$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$的值；

$($Ⅱ$)$由$($Ⅰ$)$猜测$a_{n}$的表达式，并用数学归纳法证明所得结论．

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10．设数列{a_n}是公比小于1的正项等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₂=12，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•（n-λ），且数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

难度：易

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