知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

岗位	男性应聘人数	男性录用人数	男性录用比例	女性应聘人数	女性录用人数	女性录用比例
$A$	$269$	$167$	$62\%$	$40$	$24$	$60\%$
$B$	$40$	$12$	$30\%$	$202$	$62$	$31\%$
$C$	$177$	$57$	$32\%$	$184$	$59$	$32\%$
$D$	$44$	$26$	$59\%$	$38$	$22$	$58\%$
$E$	$3$	$2$	$67\%$	$3$	$2$	$67\%$
总计	$533$	$264$	$50\%$	$467$	$169$	$36\%$

$($Ⅰ$)$从表中所有应聘人员中随机选择$1$人，试估计此人被录用的概率；
$($Ⅱ$)$从应聘$E$岗位的$6$人中随机选择$1$名男性和$1$名女性，求这$2$人均被录用的概率；
$($Ⅲ$)$表中$A$、$B$、$C$、$D$、$E$各岗位的男性、女性录用比例都接近$($二者之差的绝对值不大于$5\%)$，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例$.$研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位$.($只需写出结论$)$

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2．

观察以下$3$个等式：

$\dfrac{1}{1\times 3}=\dfrac{1}{2\times 1+1}$ ，

$\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}=\dfrac{2}{2\times 2+1}$，

$\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}=\dfrac{3}{2\times 3+1}$，

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots $

$(1)$照以上式子规律，猜想第$n$个等式$(n∈N^{*})$；

$(2)$用数学归纳法证明上述所猜想的第$n$个等式成立$(n∈N^{*}).$

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3．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
（1）cos（-60°）+cos60°+cos180°；
（2）cos（-27°）+cos107°+cos227°；
（3）cos30°+cos150°+cos270°；
（4）cos40°+cos160°+cos280°．
（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个式子，进行化简求值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，请你写出一个以题设的四个式子为特例的一般性命题，并给出证明．

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4．某民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．先按照同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（6）的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．

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5．已知圆C：x²+y²=r²具有如下性质：若M，N是圆C上关于原点对称的两个点，点P是圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k_PM，k_PN，则k_PM与k_PN之积是一个与点P的位置无关的定值．
利用类比思想，试对椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 写出具有类似特征的性质，并加以证明．

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6．
观察下列三角形数表：

假设第$n$行的第二个数为$a_{n}(n\geqslant 2,n∈N^{*})$，
$(1)$归纳出$a_{n+1}$与$a_{n}$的关系式，并求出$a_{n}$的通项公式；
$(2)$设$a_{n}b_{n}=1(n\geqslant 2)$，求证：$b_{2}+b_{3}+…+b_{n} < 2$．

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7．
计算：$ \sqrt {2}-1≈0.414, \sqrt {3}- \sqrt {2}≈0.318$；$∴ \sqrt {2}-1 > \sqrt {3}- \sqrt {2}$；又计算：$ \sqrt {5}-2≈0.236, \sqrt {6}- \sqrt {5}≈0.213, \sqrt {7}- \sqrt {6}≈0.196$，$∴ \sqrt {5}-2 > \sqrt {6}- \sqrt {5}$，$ \sqrt {6}- \sqrt {5} > \sqrt {7}- \sqrt {6}$．
$(1)$分析以上结论，试写出一个一般性的命题．
$(2)$判断该命题的真假，并给出证明．

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8．已知复数z=cosθ+isinθ．
（1）求z²和z³；
（2）利用归纳推理推测zⁿ的表达式．

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9．计算： $%20%5Csqrt%20%7B2%7D-1%E2%89%880.414%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D-%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ≈0.318；∴ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D-1%EF%BC%9E%20%5Csqrt%20%7B3%7D-%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；又计算： $%20%5Csqrt%20%7B5%7D-2%E2%89%880.236%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B6%7D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%E2%89%880.213%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B7%7D-%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ≈0.196，∴ $%20%5Csqrt%20%7B5%7D-2%EF%BC%9E%20%5Csqrt%20%7B6%7D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ， $%20%5Csqrt%20%7B6%7D-%20%5Csqrt%20%7B5%7D%EF%BC%9E%20%5Csqrt%20%7B7%7D-%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ．
（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题．
（2）判断该命题的真假，并给出证明．

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10．在$Rt\triangle ABC$中，若$∠C=90^{\circ}$，$AC=b$，$BC=a$，则$\triangle ABC$外接圆半径$r= \dfrac { \sqrt {a^{2}+b^{2}}}{2}.$运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为$a$，$b$，$c$，求其外接球的半径$R$．

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岗位	男性应聘人数	男性录用人数	男性录用比例	女性应聘人数	女性录用人数	女性录用比例
\(A\)	\(269\)	\(167\)	\(62\%\)	\(40\)	\(24\)	\(60\%\)
\(B\)	\(40\)	\(12\)	\(30\%\)	\(202\)	\(62\)	\(31\%\)
\(C\)	\(177\)	\(57\)	\(32\%\)	\(184\)	\(59\)	\(32\%\)
\(D\)	\(44\)	\(26\)	\(59\%\)	\(38\)	\(22\)	\(58\%\)
\(E\)	\(3\)	\(2\)	\(67\%\)	\(3\)	\(2\)	\(67\%\)
总计	\(533\)	\(264\)	\(50\%\)	\(467\)	\(169\)	\(36\%\)