知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
有人统计了同一个省的$6$个城市某一年的人均国民生产总值$($即人均$GDP)$和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表所示．

人均$GDP($万元$)$

$10$

$8$

$6$

$4$

$3$

$1$

患白血病的儿童数

$351$

$312$

$207$

$175$

$132$

$180$

$(1)$画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；

$(2)$若两个变量的拟合直线方程为$\hat{y}=23.25x+102.25$，假如一个城市的人均$GDP$为$12$万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过$380$人，请问这个断言是否正确？

难度：易

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2．
某种产品的广告费支出$x$与销售额$y$$($单位：万元$)$之间有如下对应数据：

$x$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

$y$

$30$

$40$

$60$

$50$

$70$

$($Ⅰ$)$求回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$\begin{matrix} & \hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\cdot \bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}},\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x} \\ & \\ \end{matrix}$

$($Ⅱ$)$试预测广告费支出为$10$万元时，销售额多大？

$($参考公式和数据：$\sum\limits_{i=1}^{5}{x_{i}^{2}}=145$ $\sum\limits_{i=1}^{5}{y_{i}^{2}}=13500$ $\sum\limits_{i=1}^{5}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=1380})$

难度：易

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3．
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷$.$按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

转速$x($转$/$秒$)$

$16$

$14$

$12$

$8$

每小时生产有缺陷的零件数$y($件$)$

$11$

$9$

$8$

$5$

$(1)$在平面直角坐标系中作出散点图．

$(2)$从散点图中判断$x$和$y$之间是否具有相关关系？

难度：易

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4．
某研究机构对高三学生的记忆力$x$和判断力$y$进行统计分析，得下表数据

$x$

$6$

$8$

$10$

$12$

$y$

$2$

$3$

$5$

$6$

$(1)$请画出上表数据的散点图；
$(2)$请根据上表提供的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}.($相关公式：$\hat{b}=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x})$

难度：易

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5．
$x$与$y$有如下五组数据：

$x$

$1$

$2$

$3$

$5$

$10$

$y$

$10$

$5$

$4$

$2$

$2$

试分析$x$与$y$之间是否具有线性相关关系$.$若有，求出回归直线方程；若没有，说明理由．

难度：易

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6．

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费$x$ $($单位：千元$)$对年销售量$y$ $($单位：$t)$和年利润$z$ $($单位：千元$)$的影响，对近$8$年的年宣传费${{x}_{i}}$ 和年销售量${{y}_{i}}$ $($$i=1,2,\cdots ,8$ $)$数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum\limits_{i=1}^{8}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}$	$\sum\limits_{i=1}^{8}{{{({{w}_{i}}-\bar{w})}^{2}}}$	$\sum\limits_{i=1}^{8}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}$	$\sum\limits_{i=1}^{8}{({{w}_{i}}-\bar{w})({{y}_{i}}-\bar{y})}$
$46.6$	$563$	$6.8$	$289.8$	$1.6$	$1\ 469$	$108.8$

表中${{w}_{i}}=\sqrt{{{x}_{i}}},\bar{w}=\dfrac{1}{8}\sum\limits_{i=1}^{8}{{{w}_{i}}}$．
$($Ⅰ$)$根据散点图判断，$y=a+bx$ 与$y=c+d\sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量$y$ 关于年宣传费$x$ 的回归方程类型？$($给出判断即可，不必说明理由$)$
$($Ⅱ$)$根据$($Ⅰ$)$的判断结果及表中数据，建立$y$ 关于$x$ 的回归方程；

$($Ⅲ$)$以知这种产品的年利润$z$与$x$、$y$的关系为$z=0.2y-x$$.$根据$($Ⅱ$)$的结果回答下列问题：

$(i)$ 年宣传费$x=49$时，年销售量及年利润的预报值是多少？

$(ii)$ 年宣传费$x$为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据$({{u}_{1}},{{v}_{1}}),({{u}_{2}},{{v}_{2}}),\cdots ,({{u}_{n}},{{v}_{n}}),$其回归线$v=\alpha +\beta u$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta }=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{u}_{i}}-\overline{u})({{v}_{i}}-\overline{v})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{u}_{i}}-\overline{u})}^{2}}}},\widehat{\alpha }=\overline{v}-\widehat{\beta }\overline{u}$

难度：易

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7．为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95
化学分数z	67	72	76	80	84	87	90	92

①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数 $r%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot%20%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ，
回归直线方程是： $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7By%7D%3Dbx%2Ba$ ，其中 $b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%8Ca%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ，
参考数据： $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%3D77.5%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%3D85%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D%3D81%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%881050%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%88456$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28z_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D%29%5E%7B2%7D%E2%89%88550%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%E2%89%88688$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B8%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28z_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D%29%E2%89%88755%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B1050%7D%E2%89%8832.4$ ， $%20%5Csqrt%20%7B456%7D%E2%89%8821.4%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B550%7D%E2%89%8823.5$ ．

难度：易

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8．

为了对$2016$年某校中考成绩进行分析，在$60$分以上的全体同学中随机抽出$8$位，他们的数学分数$($已折算为百分制$)$从小到大排是$60$、$65$、$70$、$75$、$80$、$85$、$90$、$95$，物理分数从小到大排是$72$、$77$、$80$、$84$、$88$、$90$、$93$、$95$．
$(1)$若规定$85$分以上为优秀，求这$8$位同学中恰有$3$位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
$(2)$若这$8$位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

学生编号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
数学分数$x$	$60$	$65$	$70$	$75$	$80$	$85$	$90$	$95$
物理分数$y$	$72$	$77$	$80$	$84$	$88$	$90$	$93$	$95$
化学分数$z$	$67$	$72$	$76$	$80$	$84$	$87$	$90$	$92$

$①$用变量$y$与$x$、$z$与$x$的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
$②$求$y$与$x$、$z$与$x$的线性回归方程$($系数精确到$0.01)$，当某同学的数学成绩为$50$分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数$r= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sqrt { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}- \overset{}{y})^{2}}$，
回归直线方程是：$ \overset{\hat{} }{y}=bx+a$，其中$b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}},a= \overset{ .}{y}-b \overset{ .}{x}$，
参考数据：$ \overset{ .}{x}=77.5, \overset{ .}{y}=85, \overset{ .}{z}=81, \sum\limits_{i=1}^{8}(x_{i}- \overset{ .}{x})^{2}≈1050, \sum\limits_{i=1}^{8}(y_{i}- \overset{ .}{y})^{2}≈456$，$ \sum\limits_{i=1}^{8}(z_{i}- \overset{ .}{z})^{2}≈550, \sum\limits_{i=1}^{8}(x_{i}- \overset{ .}{x})(y_{i}- \overset{ .}{y})≈688$，$ \sum\limits_{i=1}^{8}(x_{i}- \overset{ .}{x})(z_{i}- \overset{ .}{z})≈755, \sqrt {1050}≈32.4$，$ \sqrt {456}≈21.4, \sqrt {550}≈23.5$．

难度：易

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9．

一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：

学生	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
数学成绩$x($分$)$	$93$	$97$	$89$	$95$	$91$
物理成绩$y($分$)$	$89$	$93$	$87$	$92$	$89$

参考公式：

回归直线的方程是：$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$其中$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$，${{\widehat{y}}_{i}}$是与$xi$对应的回归估计值．

参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{5}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}=40$，$\sum\limits_{i=1}^{5}{({{x}_{i}}-\overline{x})}({{y}_{i}}-\overline{y})=30$

$($Ⅰ$)$要从$5$名学生中选$2$人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于$90$分的概率；

$($Ⅱ$)$根据上表数据，画出散点图并用散点图说明物理成绩$y$与数学成绩$x$之间线性相关关系的强弱$.$如果具有较强的线性相关关系，求$y$与$x$的线性回归方程$($系数精确到$0.01)$；如果不具有线性相关关系，请说明理由．

难度：易

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10．

在某次试验中，有两个试验数据 $x$，$y$ ，统计的结果如下面的表格．

$(1)$在给出的坐标系中画出 $x$，$y$ 的散点图$;$

$(2)$求出 $y$ 对 $x$ 的回归直线方程$ \overset{\}{y}= \overset{\}{b}x+ \overset{\}{a} $，并估计当 $x$ 为$10$时 $y$ 的值是多少？$( \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\nolimits{{x}_{i}}^{2}-n \overset{-2}{x}}, \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x} )$

难度：易

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0/40

进入组卷

人均\(GDP(\)万元\()\)	\(10\)	\(8\)	\(6\)	\(4\)	\(3\)	\(1\)
患白血病的儿童数	\(351\)	\(312\)	\(207\)	\(175\)	\(132\)	\(180\)

\(x\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)
\(y\)	\(30\)	\(40\)	\(60\)	\(50\)	\(70\)

转速\(x(\)转\(/\)秒\()\)	\(16\)	\(14\)	\(12\)	\(8\)
每小时生产有缺陷的零件数\(y(\)件\()\)	\(11\)	\(9\)	\(8\)	\(5\)

\(x\)	\(6\)	\(8\)	\(10\)	\(12\)
\(y\)	\(2\)	\(3\)	\(5\)	\(6\)

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(5\)	\(10\)
\(y\)	\(10\)	\(5\)	\(4\)	\(2\)	\(2\)

\(\bar{x}\)	\(\bar{y}\)	\(\bar{w}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{{{({{w}_{i}}-\bar{w})}^{2}}}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}\)	\(\sum\limits_{i=1}^{8}{({{w}_{i}}-\bar{w})({{y}_{i}}-\bar{y})}\)
\(46.6\)	\(563\)	\(6.8\)	\(289.8\)	\(1.6\)	\(1\ 469\)	\(108.8\)

学生	\(A_{1}\)	\(A_{2}\)	\(A_{3}\)	\(A_{4}\)	\(A_{5}\)
数学成绩\(x(\)分\()\)	\(93\)	\(97\)	\(89\)	\(95\)	\(91\)
物理成绩\(y(\)分\()\)	\(89\)	\(93\)	\(87\)	\(92\)	\(89\)

学生编号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
数学分数\(x\)	\(60\)	\(65\)	\(70\)	\(75\)	\(80\)	\(85\)	\(90\)	\(95\)
物理分数\(y\)	\(72\)	\(77\)	\(80\)	\(84\)	\(88\)	\(90\)	\(93\)	\(95\)
化学分数\(z\)	\(67\)	\(72\)	\(76\)	\(80\)	\(84\)	\(87\)	\(90\)	\(92\)