知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，父亲的身高用x表示，儿子的身高用y来表示．
（1）完成答题卡中的表格；
（2）用回归分析的方法得到的回归方程为 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ =bx+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ，则预计老张的孙子的身高为多少？

难度：易

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2．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差x_i与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数y_i（i=1，2，…，5），作了初步处理，得到下表：

日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
温差x_i（⁰C）	10	11	13	12	9
发芽率y_i（颗）	23	25	30	26	16

（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于26”的概率；
（2）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ，并预报3月份昼夜温差为14度时实验室每天100颗种子浸泡后的发芽（取整数值）．
附：回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ 中的斜率和截距最小二乘法估计公式分别为： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%28%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Chat%20y$ - $%20%5Chat%20b$ x， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%3D1351$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D$ =615．

难度：易

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3．如表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？注： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%28%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

难度：易

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4．在一段时间内，某种商品的价格x（元）和某大型公司的需求量y（千件）之间的一组数据如表：
价格x 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
需求量y 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ，其中 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ =0.76， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ ．据此估计，某种商品的价格为15元时，求其需求量约为多少千件？

难度：易

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5．为研究质量x（单位：g）对弹簧长度y（单位：cm）的影响，对不同质量的6根弹簧进行测量，得到如下数据：
x （g） 5 10 15 20 25 30
y （cm） 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
（1）画出散点图；
（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归方程．
（其中 $%20%20%5Coverset%7Bb%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%7Ba%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%7D$ ）

难度：易

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6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）用所求回归方程预测该地区2016年的人民币储蓄存款．

难度：易

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7．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的几组对照数据：
x（年） 3 4 5 6
y（万元） 2.5 3 4 4.5
（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ =bx+a
（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元．试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？
参考公式： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ =y- $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x．

难度：易

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8．随着互联网经济逐步被人们接受，网上购物的人群越来越多，网上交易额也逐年增加，某地一建设银行连续五年的网银交易额统计表，如表所示：
年份x 2012 2013 2014 2015 2016
网上交易额y（亿元） 5 6 7 8 10
经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x-2011，z=y-5，得到如表：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地网银交易额可达多少？
（附：在线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ 中， $b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%28%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $a%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）

难度：易

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9．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（千万元） 2 3 3 4 5
（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ；
（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
（注： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）

难度：易

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10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长，设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 11
（1）求y关于t的回归方程 $%20%5Chat%20y%3D%20%5Chat%20b%5Ccdot%20t%2B%20%5Chat%20a$ ；
（2）用所求回归方程预测该地区2017年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程 $%20%5Chat%20y%3D%20%5Chat%20b%5Ccdot%20t%2B%20%5Chat%20a$ 中， $%20%5Chat%20b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dt_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dt_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%5E%7B2%7D%7D%7D%EF%BC%8C%20%5Chat%20a%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-%20%5Chat%20b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D$ ．

难度：易

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0/40

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年份	2011	2012	2013	2014	2015
时间代号t	1	2	3	4	5
储蓄存款y（千亿元）	5	6	7	8	10

年份x	2012	2013	2014	2015	2016
网上交易额y（亿元）	5	6	7	8	10

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（千万元）	2	3	3	4	5

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

价格x	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
需求量y	6.2	7.5	8.0	8.5	9.8

x （g）	5	10	15	20	25	30
y （cm）	7.25	8.12	8.95	9.90	10.9	11.8

x（年）	3	4	5	6
y（万元）	2.5	3	4	4.5