知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知方程$(m-1)x^{2}+(3-m)y^{2}=(m-1)(3-m)$所表示的曲线是椭圆，求实数$m$的取值范围．

难度：易

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2．已知定圆C₁：（x+1）²+y²=36及定圆C₂：（x-1）²+y²=4，动圆P与C₁内切，与C₂外切，求动圆圆心P的轨迹方程．

难度：易

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3．已知抛物线y=x²在点A（2，4）处的切线为m．
（1）求切线m的方程；
（2）若切线m经过椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．

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4．设双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求双曲线的渐近线方程并求以双曲线焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程．

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5．已知椭圆过点A（2，- $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B3%7D$ ）、B（-1， $%20%5Cfrac%20%7B8%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B3%7D$ ）求椭圆的标准方程，顶点坐标，焦点坐标及离心率．

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6．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点（-2，-4）．

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7．分别求满足下列条件的椭圆方程
（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p₁（ $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，1），p₂（- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，- $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）；
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．

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8．已知A（2，0），B（3， $2%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ）．
（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆的标准方程；
（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程．

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9．椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x²+ $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ =1有相同离心率，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOQ%7D$ ，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．

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10．求过点（0，4）且与椭圆9x²+4y²=36有相同焦点的椭圆方程．

难度：易

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