知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

如图，四棱锥\(P-ABCD \)中，侧面\(PAD\)为等边三角形，且侧面\(PAD\bot \)平面\(ABCD\)，\(\angle BAD=\angle ABC=90{}^\circ \)．

\((1)\)证明：直线\(BC/\!/ \)平面\(PAD;\)

\((2)\)若\(2AB=2BC=PC=AD\)，求直线\(PC\)与平面\(PAD\)所成角的大小．

难度：易

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2．
在三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，侧面\(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\)为矩形，\(AB=2\)，\(A{{A}_{1}}=2\sqrt{2}\)，\(D\)是\(A{{A}_{1}}\)的中点，\(BD\)与\(A{{B}_{1}}\)交于点\(O\)，且\(CO\bot \)平面\(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\)．

\((1)\)证明：\(BC\bot A{{B}_{1}}\)；

\((2)\)若\(OC=OA\)，求直线\(CD\)与平面\(ABC\)所成角的正弦值．

难度：易

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3．

如图，在四棱锥\(P-ABCD \)中，底面\(ABCD\)为边长为\(2\)的菱形，\(∠DAB=60^{\circ} \)，\(∠ADP=90^{\circ} \)，面\(ADP⊥ \)面\(ABCD\)，点\(F\)为棱\(PD\)的中点．

\((\)Ⅰ\()\)在棱\(AB\)上是否存在一点\(E\)，使得\(AF/\!/ \)面\(PCE\)，并说明理由；

\((\)Ⅱ\()\)当二面角\(D-FC-B \)的余弦值为\(\dfrac{1}{4} \)时，求直线\(PB\)与平面\(ABCD\)所成的角．

难度：易

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4．正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)为\(AB\)中点，\(F\)为\(CD_{1}\)中点．
\((1)\)求证：\(EF/\!/\)平面\(ADD_{1}A_{1}\)；
\((2)\)求直线\(EF\)和平面\(CDD_{1}C_{1}\)所成角的正弦值．

难度：易

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5．
如图\(1\)，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=2BC\)，\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(CD\)的中点，现在沿\(EF\)把这个矩形折成一个直二面角\(A-EF-C(\)如图\(2)\)，则在图\(2\)中直线\(AF\)与平面\(EBCF\)所成的角的大小为 ______ ．

难度：易

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6．在三棱柱\(ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \)，各棱长相等，侧棱垂直与底面，点\(D\)是侧面\(B{B}_{1}{C}_{1}C \)的中心，则\(AD\)与平面\(B{B}_{1}{C}_{1}C \)所成角的大小是\((\) \()\)

A．\(30^{\circ}\)

B．\(45^{\circ}\)

C．\(60^{\circ}\)

D．\(90^{\circ}\)

难度：易

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7．
直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，已知\(AB⊥AC \)，\(AB=2\)，\(AC=4\)，\(AA_{1}=3.D\)是\(BC\)的中点\(.\)

\((1)\)求直线\(DB_{1}\)与平面\(A_{1}C_{1}D\)所成角的正弦值；

\((2)\)求二面角\({B}_{1}-{A}_{1}D-{C}_{1} \)的大小的余弦值．

难度：易

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8．如图，在三棱锥 \(P\)\(—\) \(ABC\)中， \(PC\)\(⊥\)底面 \(ABC\)， \(AB\)\(⊥\) \(BC\)， \(D\)， \(E\)分别是 \(AB\)， \(PB\)的中点\(.AB=1\)，\(AP=3\)．

\((1)\)求证：\(DE\)\(/\!/\)平面\(PAC\)；；

\((2)\)求证：\(AB⊥\)平面\(PBC\)；

\((3)\)求直线\(AP\)与平面\(PBC\)所成角的正弦值．

难度：易

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9．如图，四棱锥\(S-ABCD\)的底面是正方形，\(SD⊥\)平面\(ABCD\)，\(SD=2a\)，\(AD= \sqrt {2}a\)，点\(E\)是\(SD\)上的点，且\(DE=λa(0 < λ\leqslant 2)\)
\((\)Ⅰ\()\)求证：对任意的\(λ∈(0,2)\)，都有\(AC⊥BE\)
\((\)Ⅱ\()\)设二面角\(C-AE-D\)的大小为\(θ\)，直线\(BE\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(φ\)，若\(\tan θ⋅\tan φ=1\)，求\(λ\)的值．

难度：易

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10．
如图所示，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是菱形，\(∠BAD=60^{\circ}\)，\(AB=PA=2\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(E\)是\(PC\)的中点，\(F\)是\(AB\)的中点．
\((1)\)求证：\(BE/\!/\)平面\(PDF\)；
\((2)\)求证：平面\(PDF⊥\)平面\(PAB\)；
\((3)\)求\(BE\)与平面\(PAC\)所成的角．

难度：易

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