知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x）+ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ，试判断F（x）的奇偶性，并说明理由．

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2．已知函数f（x）定义在R上，且周期为3，当1≤x≤3时，f（x）=x²+4．
（1）求f（5）+f（7）的值；
（2）若关于x的方程f（x）=mx²（m∈R）在区间[4，6]有实根，求实数m的范围．

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3．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bf%E2%80%B2%281%29%7D%7Be%7D%5Ccdot%20e%5E%7Bx%7D-f%280%29%5Ccdot%20x%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ （e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的解析式和单调区间
（2）若函数g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2Ba$ 与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

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4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e^-x-2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．

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5．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=1，对于任意x∈R，f（x）≥x，且f（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ +x）=f（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ -x）．令g（x）=f（x）-|mx-1|（m＞0）．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）探求函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

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6．已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点（ $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7B2%7D$ ）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的表达式；
（2）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围．
（3）若方程f（x）-g（x）-m=0有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

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7．已知函数f（x）=2|x-1|-x+1．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）根据函数f（x）的图象回答下列问题：
①求函数f（x）的单调区间；
②求函数f（x）的值域；
③求关于x的方程f（x）=2在区间[0，2]上解的个数．
（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）

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8．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的两个零点为1和3．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象讨论关于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的个数．

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9．如果二次函数f（x+1）=x²+1，求：①f（x）表达式；②方程f（-x）=5的两个解相差多少．

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10．解方程：
x
log5x-1=5．

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