知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Bax%2Bb%7D$ （a，b为常数，且a≠0）满足f（2）=1且方程f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式．

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2．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D%2Bb%28a%EF%BC%9E0%29$ 是奇函数．
（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；
（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．

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3．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%5E%7B2%7D-mx%2Bm-1%C2%A0%2C%C2%A0x%5Cgeq%200%7D%7Bf%28x%2B2%29%C2%A0%2C%C2%A0x%3C0%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ．
（Ⅰ）当m=8时，求f（-4）的值；
（Ⅱ）当m=8且x∈[-8，8]时，求|f（x）|的最大值；
（Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值．

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4．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，把它的图形放在如图所示直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？

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5．已知二次函数f（x）=x²-2bx+a，满足f（x）=f（2-x），且方程f（x）- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ a=0有两个相等的实根．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求函数f（x）的最小值．

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6．已知关于x的方程k•9^x-3k•3^x+6（k-5）=0，x∈[0，2]；分别求满足下列条件的实数k的取值范围：（1）有解；（2）有唯一解；（3）有两个解．

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7．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=4^x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x²-m（x-1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．

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8．（1）在所给的平面直角坐标系内，画出函数f（x）=x²-2x（x∉R）的图象，根据图象写出函数f（x）的单调递减区间并用定义证明；
（2）求函数f（x）=x²-2x，x∈[a，a+1]（其中a为实数）的最小值．

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9．已知函数f（x）和函数g（x）满足f（x）=g（x）+m，（m∈R），其中g（x）=
2
4x-1
；
（I）若函数f（x）是奇函数，求常数m的值；
（II）求g（-2015）+g（-2014）+…+g（-2）+g（-1）+g（1）+g（2）+…+g（2014）+g（2015）的值．

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10．证明函数u=
1
r
，满足方程
∂2u
∂x2
+
∂2u
ay2
+
∂2u
az2
=0，其中r=
x2+y2+z2
．

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