知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

已知函数$f(x)= \begin{cases} \overset{e^{x},x\leqslant 0}{\ln x,x > 0}\end{cases}$，$g(x)=f(x)+x+a.$若$g(x)$存在$2$个零点，则$a$的取值范围是$($　　$)$

A．$[-1,0)$

B．$[0,+∞)$

C．$[-1,+∞)$

D．$[1,+∞)$

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2．
设函数$f(x)=|2x+1|+|x-1|$．
$(1)$画出$y=f(x)$的图象；
$(2)$当$x∈[0,+∞)$时，$f(x)\leqslant ax+b$，求$a+b$的最小值．

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3．
已知$λ∈R$，函数$f(x)= \begin{cases} \overset{x-4,x\geqslant \lambda }{x^{2}-4x+3,x < \lambda }\end{cases}$，当$λ=2$时，不等式$f(x) < 0$的解集是 ______ $.$若函数$f(x)$恰有$2$个零点，则$λ$的取值范围是 ______ ．

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4．
已知$a > 0$，函数$f(x)= \begin{cases} \overset{x^{2}+2ax+a,x\leqslant 0}{-x^{2}+2ax-2a,x > 0}\end{cases}.$若关于$x$的方程$f(x)=ax$恰有$2$个互异的实数解，则$a$的取值范围是 ______ ．

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5．
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时$.$某地上班族$S$中的成员仅以自驾或公交方式通勤$.$分析显示：当$S$中$x\%(0 < x < 100)$的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
$f(x)= \begin{cases} 30,0 < x\leqslant 30 \\ 2x+ \dfrac {1800}{x}-90,30 < x < 100\end{cases}($单位：分钟$)$，
而公交群体的人均通勤时间不受$x$影响，恒为$40$分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
$(1)$当$x$在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
$(2)$求该地上班族$S$的人均通勤时间$g(x)$的表达式；讨论$g(x)$的单调性，并说明其实际意义．

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6．设f（x）= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7B2%5E%7B-x%7D%2Cx%5Cleq%201%7D%7Blog_%7B3%7D%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B3%7Dlog_%7B3%7D%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B9%7D%2Cx%3E1%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ．
（1）求f（log₂ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ）的值；
（2）求f（x）的最小值．

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7．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20-0.1x%5E%7B2%7D%2B2.6x%2B43%280%EF%BC%9Cx%E2%89%A410%29%20%5C%5C%2059%2810%EF%BC%9Cx%E2%89%A416%29%20%5C%5C%20-3x%2B107%2816%EF%BC%9Cx%E2%89%A430%29%5Cend%7Bcases%7D$
（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

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8．若函数f（x）= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Ba%5E%7Bx%7D%2Cx%3E1%7D%7B%284-%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7B2%7D%29x%2B2%2Cx%5Cleq%201%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 的值域为R，则实数a的取值范围是 ______ ．

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9．根据统计，一名工人组装第x件产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7B%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bx%7D%7D%2Cx%3Ca%7D%7B%20%5Cfrac%20%7Bc%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%7D%2Cx%5Cgeq%20a%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （a，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，那么c和a的值分别是（　　）

A．75，25

B．75，16

C．60，144

D．60，16

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10．设f（x）= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%5E%7B2%7D%2B4x%2B6%28x%5Cleq%200%29%7D%7B-x%2B6%28x%3E0%29%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，则不等式f（x）＜f（-1）的解集是（　　）

A．（-3，-1）∪（3，+∞）

B．（-3，-1）∪（2，+∞）

C．（-3，+∞）

D．（-∞，-3）（-1，3）

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