知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

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2．已知函数f（x）=|x-4m|+|x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bm%7D$ |（m＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥4；
（Ⅱ）若k为f（x）的最小值，且a+b=k（a＞0，b＞0），求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bb%7D$ 的最小值．

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3．若正数a，b满足log₂a=log₅b=lg（a+b），则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ 的值为 ______ ．

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4．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（sinA， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（3，sinA+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7DcosA$ ）共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

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5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=（tanA+tanC，
3
），
n
=（tanAtanC-1，1），且
m
∥
n
．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

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6．已知函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7Bx-3%7D%28x%EF%BC%9E3%29$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式 $f%28x%29%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7Bt%7D%7Bt%2B1%7D%2B7$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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7．飞机每飞行1小时的费用由两部分组成，固定部分为4900元，变动部分P（元）与飞机飞行速度v（千米∕小时）的函数关系式是P=0.01v²，已知甲乙两地的距离为a（千米）．
（1）试写出飞机从甲地飞到乙地的总费用y（元）关于速度v（千米∕小时）的函数关系式；
（2）当飞机飞行速度为多少时，所需费用最少？

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8．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+
4
x2-2xy+y2
≥y+3．

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9．已知a，b∈R⁺，
2
a
+
3
b
=2．求ab的最大值，a+b的最小值，2a+3b的最小值，并取得最值时相应的a，b的值．

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10．若a＞b＞0，证明：a²+
1
(a-b)b
≥4．

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