知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知方程x³+ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）．
（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；
（2）求证：a²-3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．

难度：较易

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3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=（x+2）e^-x-2（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，2]时，方程f（x）=m有实数根，求实数m的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）．
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=ax³+bx+c在x=1处取得极值c-4．
（1）求a，b；
（2）设函数y=f（x）为R上的奇函数，求函数f（x）在区间（-2，0）上的极值．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值．

难度：较易

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7．设a为实数，函数f（x）=x³-2x²+x+a．
（1）求f（x）的极值．
（2）当a在什么范围取值时，函数y=f（x）有一个零点．

难度：较易

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8．设函数 $f%28x%29%3D2ax-%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bx%7D%2Blnx$ ，若f（x）在 $x%3D1%EF%BC%8Cx%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）存在 $x_%7B0%7D%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%EF%BC%8C2%5D$ 使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

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9．设函数f（x）=x $%C2%A0%5E%7B3%7D-%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B6x-a$ ．
（1）求f（x）的极值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

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10．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求时，证明：对于任意的且，恒有
（Ⅲ）设是函数的零点，实数满足，试探究实数、、的大小关系.

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