知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定义S_T= $a_%7Bt_%7B1%7D%7D$ + $a_%7Bt_%7B2%7D%7D$ +…+ $a_%7Bt_%7Bk%7D%7D$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
（3）设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D．

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2．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₃的等差中项是9 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

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3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $%20%5Cfrac%20%7BcosA%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7BcosB%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc%7D$ ．
（1）证明：a，c，b成等比数列；
（2）若△ABC的外接圆半径为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，且4sin（C- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ）cosC=1，求△ABC的周长．

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4．已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）当n∈N^*时，求f（n）的表达式；
（2）设a_n=n•f（n），n∈N^*，求证a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2；
（3）设b_n=（9-n） $%20%5Cfrac%20%7Bf%28n%2B1%29%7D%7Bf%28n%29%7D$ ，n∈N^*，S_n为b_n的前n项和，当S_n最大时，求n的值．

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5．已知数列{a_n}满足： $a_%7B1%7D%3D2%EF%BC%8Ca_%7Bn%2B1%7D%3Da_%7Bn%7D%5E%7B2%7D-ka_%7Bn%7D%2Bk%28k%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29%EF%BC%8Ca_%7B1%7D%EF%BC%8Ca_%7B2%7D%EF%BC%8Ca_%7B3%7D$ 分别是公差不为零的等差数列{b_n}的前三项．
（1）求k的值；
（2）求证：对任意的n∈N^*，b_n，b_2n，b_4n不可能是等比数列．

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n= $a_%7Bb_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

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7．已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为T_n，
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+
1
2
＞T_n恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

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8．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D$ }的前n项和S_n．

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9．已知等比数列{a_n}的首项a₁=25，公比为5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₅（5a_n），n=1，2，…，证明：{b_n}是等差数列，并求b₁+b₂+…+b₁₀₀的值．

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10．（1）已知{a_n}是项数相同的等比数列，求证：{a_n²}也是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+S_n=n，c_n=a_n-1，求证：数列{c_n}是等比数列．

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